立体几何与空间向量专项训练.docx

立体几何与空间向量

基本立体图形及其直观图

空间几何体的结构特征

例1下列说法正确的是()

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

平面图形与其直观图的关系

例2(多选)(2023·朝阳建平实验中学月考)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则以下说法正确的是()

A．△ABC是钝角三角形

B．△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍

C．△ABC是等腰直角三角形

D．△ABC的周长是4＋4eq\r(2)

空间几何体的展开图和截面图

例3某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，O为下底面圆的圆心，ME是圆柱的母线，OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()

A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)

C．3 D．2

例4某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4eq\r(3)的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是()

A．2 B．4

C．2eq\r(6) D．4eq\r(6)

简单几何体的表面积与体积

几何体的表面积

例1(1)(2023·襄阳四中模拟)如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过PO的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积为()

A．(1＋eq\r(5))π B．(2＋eq\r(5))π

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)＋\r(5)))π D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋\r(5)))π

(2)圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积为________cm2(结果中保留π)．

几何体的体积

例2(2023·全国甲卷)在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，则该棱锥的体积为()

A．1 B.eq\r(3)

C．2 D．3

例3如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为()

A．90π B．63π

C．42π D．36π

例4我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，薨，屋盖也”．今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF＝eq\f(3,2)，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍薨的体积为()

A．6 B.eq\f(11,3)

C.eq\f(31,4) D．12

例5如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A－A1EF的体积是________．

空间点、直线、平面之间的位置关系

基本事实与推论的应用

例1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

交，设交点为P.

空间两条直线的位置关系

例2(1)(多选)如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l?平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列结论能成立的是()

A．l与AD平行 B．l与AB异面

C．l与CD所成的角为30° D．l与BD垂直

(2)在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，F是AB的中点，则()

A．AE＝CF，AC与EF是共面直线

B．AE≠CF，AC与EF是共面直线

C．AE＝CF，AC与EF是异面直线

D．AE≠CF，AC与EF是异面直线

异面直线所成的角

例3(1)如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF与AC所成的角为()

A．30° B．45°

C．60° D．90°

(2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()

A.eq\f(1,5