第二讲 极坐标与参数方程.doc

专题八　选修专题 第二讲　极坐标与参数方程 1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地在平面上取一个定点O自点O引一条射线Ox同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)这样就建立了一个极坐标系．其中点O称为极点射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ)的含义：设M是平面上任一点表示OM的长度表示以射线Ox为始边射线OM为终边所成的角．那么有序数对(ρ)称为点M的极坐标．显然每一个有序实数对(ρ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的而在极坐标系中对于给定的有序数对(ρ)，可以确定平面上的一点但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．3)曲线的极坐标方程：一般地在极坐标系中如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ)＝0并且坐标适合方程f(ρ)＝0的点都在曲线C上那么方程(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ角的直线方程是θ＝φ和θ＝－φ如下图所示．(2)与极轴垂直且a，0)的直线的极坐标方程是ρ＝a如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρ＝a如下图所示．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心半径为r的圆的方程为ρ＝r如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点半径为r的圆的方程为＝如图2所示．3)圆心在过极点且与极轴成的射线上过极点且半径为r的圆的方程为ρ2r如图3所示．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x轴的正半轴则平面内任意一点M的极坐标M(ρ)化为平面直角坐标M(x)的公式如下：或者ρ＝＝其中要结合点所在的象限确定角θ的值．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中如果曲线上任意一点的坐标x都是某个变数t的函数即并且对于t的每一个允许值由方程组所确定的点M(x)都在这条曲线上那么方程组就x，y之间关系的变数t叫做参变数简称参数．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x)，倾斜角为α的直线：(t为参数)其中参数t是以定点P(x)为起点点M(x)为终点的有向线段PM的数量又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何A，B是直线上任意两点它们对应的参数分别为t和t则|AB|＝|t－t＝；线段AB的中点所对应的参数值等于(2)中心在P(x)，半径等于r的圆：(θ为参数)(3)中心在原点焦点在x轴(或y轴)上的椭圆：(θ为参数)中心在点P(x)，焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为(α为参数)．(4)中心在原点焦点在x轴(或y轴)上的双曲线：(θ为参数)(5)顶点在原点焦点在x轴的正半轴上的抛物线：(t为参数)．注：＝参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法消参数时要注意参数的取值范围对x的限制．　　　　　　　　　　　　　　　已知点A的极坐标为则点A的直角坐(2，－2)．把点P的直角坐标(－)化为极坐标结果为曲线的极坐标方程ρ＝4化为直角坐标方程为x＋(y－2)＝4．以极坐标系中的点为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2． 5．在平面直角坐标系xOy中若直线l：(t为参数)过椭圆C：(θ为参数)的右顶点则常数a的值为3．解析：由直线l：得y＝x－a.由椭圆C：得＝＝1.所以椭圆C的右顶点为(3)．因为直线l过椭圆的右顶点所以0＝3－a即a＝3.一、选择题在平面直角坐标系xOy中点P的直角坐标为(1－)．若以原点O为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系则点P的极坐标可以是() A. B. C. D. 2．若圆的方程为(θ为参数)直线的方程为(t为参数)则直线与圆的位置关系是() A．相离 ．相交相切 ．不能确定以平面直角坐标系的原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)圆C的极坐标方程是ρ＝4则直线l被圆C截得的弦长为() A. B．2 C. D．2 解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x－y－4＝0＋＝4x所以圆心C(2)，半径r＝2圆心(2)到直线l的距离d＝由半径圆心距半弦长构成直角三角形解得弦长为2已知动直线l平分圆C：(x－2)＋(y－1)1，则直线l与圆O：(θ为参数)的位置关系是() A．相交 ．相切相离 ．过圆心解析：动直线l平分圆C：(x－2)＋(y－1)＝1即圆心(2)在直线l上又圆O：的普通方程为2＋＝9且2＋1故点(2)在圆O内则直线l与圆O的位置关系是相交．二、填空题在平面直角坐标系xOy中已知曲线C的参数方程是(θ是参数)若以O为极点轴的正半轴为极轴则曲线C的极坐标方程可写为ρ＋4ρ＋＝解析：在平面直角坐标系xOy中(θ是参数