数学物理方程第三章行波法与积分变换法word版.doc

第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D’alembert）公式 达朗贝尔公式 考察如下Cauchy问题： （1） 作如下代换; （2） 利用复合函数求导法则可得 同理可得 代入（1）可得 ＝0。 先对求积分，再对求积分，可得d的一般形式 这里为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 （3） 由（3）第二式积分可得 ， 利用(3)第一式可得 所以，我们有 （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： 解：其特征方程为 由此可得特征线方程为 因此作变换 从而可得 ＝0 从而有 由初始条件可得 所以有 ， 从而可得 故而可知 。 特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 称下常微分方程为其特征方程 。 由前面讨论知道，直线为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波在特征线上取值为常数值，右行波在特征线上取值为常数值，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 （第十四讲） 公式的物理意义 由 其中表示一个沿x轴负方向传播的行波，表示一个沿x轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度为a。因此此法称为行波法。 依赖区间、决定区域、影响区域 由方程的解（4）可以看出，解在（x,t）点的数值由x轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。区间[x-at,x+at]称为点（x,t）的依赖区间 对初始直线t=0上的一个区间[x1,x2]，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与[x1,x2]合成一个三角形区域，如图 则此三角形中任一点(x,t)的依赖区间都落在[x1,x2]中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，与[x1,x2]之外的初始条件值无关。故称此三角形区域为[x1,x2]的决定区域。因此，在区间[x1,x2]上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。 另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at, 如图（） 则经过时间t后，受到区间[x1,x2]上初始扰动影响的区域为 而此区域之外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为[x1,x2]的影响区域。 注:通过例子说明影响区域，比如初始条件在区间[x1,x2]内有扰动时，讨论一下解在那些区域有影响，哪些没影响。 补充：Fourier变换 定义 设为定义在，若积分 存在，称为的Fourier变换。称为的逆Fourier变换。 记 性质 线性性质 若已知 则有 对称性 若，则。 相似性 若，则 延迟性 若，则若 频移性 若，则，。 微分性 若，则，特别。 积分性 若，则。 卷积性 若 则 。 第十五讲 §3.3 积分变换法举例 无界杆上的热传导问题 设有一根无限长的杆，杆上具有强度为的热源，杆的初温为，求t0时杆上温度分别情况。 解：由题意可知上问题可归结为求下定解问题： 很容易看出，上定解问题为无界域上的求解问题，直接用分离变量法比较复杂。下面我们用Fourier 变换法求解。 用表示的Fourier变换，关于x对上方程作Fourier变换可得 此为一阶ODE，在由原问题的初始条件作Fourier变换可得上常微分方程的定解条件 从而可得 再利用Fourier逆变换可得原问题的解。 由Fourier变换表知 再由Fourier变换的卷积性质知 。 总结：积分变换法解定解问题的一般过程 根据自变量的变化范围及定解条件，选取适当的积分变换公式，通过对方程进行积分变换把问题简化； 对所得简化问题求解； 运用逆变换，求得原问题的解。 例2．一条无限长的杆，端点温度情况已知，初温为0C0 ，求杆上温度分布规律。 解：由题意可知，等价于求下定解问题 此问题不能用Fourier变换法（？）。要用Laplace变换法求解。若关于x作Laplace变换，则需要有u关于x的一阶偏导的边界值，但方程没有给出，所以只能作关于t