函数极值高阶导数判别法的简单证明.pdf

第5卷第3期 沈阳工程学院学报(自然科学版) 斩，z5No．3 2009年7月 Journalof Instituteof Science) Jul．姗 Shenyang Engineering(Natural 函数极值高阶导数判别法的简单证明 李关民，王娜 (沈阳工程学院基础教学部，沈阳110136) 摘要：在一元函数微分学中，判定函数在某点是否取得极值，通常利用判定极值的第一、第二充分条件．在判定极值的 第一、第二充分条件失效时，可以利用一元函数极值的高阶导数判别法来判别，其证明是采用泰勒公式完成的．如果利用 函数单调性来进行证明，将使证明过程变得更为简单． 关键词：高阶导数判别法；单调性；极值；拐点 中图分类号：0172．1 文献标识码：A 0，那么jro一定是极值点．但是，如果厂(而)=0，第二 l 引 理 充分条件就不能应用，函数在而处可能取得极值，也 在判定函数在某点是否取得极值的时候，通常利 可能没有极值． 用判定极值的第一、第二充分条件． 例1 函数，(工)=，． 1．1第一充分条件 设函数以z)在而处连续，且在％的某去心邻域 厂(Xo)=O． O(Xo，6)内可导． 第二充分条件失效，但是，显然函数在Xo=0处取 得了极小值，如图l所示． 1)若X∈(Xo一6，而)时’厂(z)0，而XE(Xo，Xo+ ∞时’厂(工)O，则厂(X)在jc0处取得极大值． ， ．2)若x∈(Xo-8，Xo)时’厂(石)O，而x∈(‰，而+ 6)时’厂(工)0，贝岍工)在而处取得极小值． 3)若z∈O(Xo，艿)时，厂(工)的符号保持不变，则 ，(工)在而处没有极值． 第一充分条件表明，当X在粕的邻近渐变地经过 ＼ ／一 ‰时，如果f(X)的符号改变，那么以工)在而处就取得 D 极值；如果y(x)的符号不改变，那么以X)在粕处就没 有极值． 图1函数，(工)；r 1．2第二充分条件 例2函数，(x)=，． 设函数，(工)在粕处具有二阶导数，且厂(Xo)=0， 尸(Xo)≠0，那么 (‰)=O． 1)当厂(‰)0时，函数f(x)在而处取得极大 第二充分条件失效，但是，显然函数在xo--0处没 值． 有取得极值，点(O，O)是拐点，如图2所示． 2)当厂(Xo)0时，函数，(工)在而处取得极小 在上述情况下，通常会利用第一充分条件进行重 值． 新判别，但非常麻烦，因此，可以考虑利用第三充分条 3)当尸(而)=0时，失效． 件，即一元函数极值的高阶导数判别法来判别． 第二充分条件表明，如果函数f(Xo)=0，(Xo)≠ 收稿日期：2009—03—09 作者简介：李关民(1960一)，男(满族)，辽宁抚顺人，副教授 万方数据 ·296·