1.3.2 函数的极值与导数【荐】.ppt

问:函数极值点处导数值为多少? * * 1.3.2 函数的极值与导数 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y`0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y`0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数. 判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法 y`0 增函数 y`0 减函数 复习 用导数法确定函数的单调性时的步骤是： (1) 求函数的定义域 （2）求出函数的导函数 （3）求解不等式f `(x)0，求得其解集， 再根据解集写出单调递增区间 求解不等式f``(x)0，求得其解集， 再根据解集写出单调递减区间 注、单调区间不 以“并集”出现。 y x O a b y=f(x) x1 f (x1) x2 f(x2) x3 f(x3) x4 f(x4) 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点? 观察图像： 一、函数的极值定义 一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值------不一定最大或最小） 使函数取得极值的点x0称为极值点 o a x1 x2 x3 x4 b x y ,f(x1) f(x4) f(x2) 思考：下图中哪些是极大值哪些是极小值 f(x3) y x O 探究：导数值(即切线斜率）在极值点处有何特点？ 结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f ?(x)=0 a b y=f(x) x1 x2 x3 f ?(x1)=0 f ?(x2)=0 f ?(x3)=0 思考;若 f ?(x0)=0，则x0是否为极值点？ x y O 分析y?x3 f ?(x)0 y x O x1 a b y=f(x) 在极大值点附近 在极小值点附近 f ?(x)0 f ?(x)0 f ?(x)0 1、如果在x0附近的左侧f ’(x)0，右侧f ’(x)0， 则f (x0)是极大值； 2、如果在x0附近的左侧f ’(x)0，右侧f ’(x)0， 则f (x0)是极小值； 已知函数y=f(x),若 f’(x0)=0 则 二、判断函数极值的方法 x2 求可导函数f(x)极值的 步骤： (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— 如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； (1) 确定函数的定义域； 例1 求函数 的极值。 极小值 -4/3 极大值28/3 y + 0 － 0 + y′ (2，+∞） 2 (-2，2） -2 (-∞，-2） x 解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2 当x变化时，y′, y的变化情况如下表： 因此，当x=-2时， y极大值=28/3 当x=2时， y极小值=－4/3 看图象 0 y x -2 2 例2 求函数 y=2x+8/x 的极值。 - (0,2) 0 2 y + － 0 + y′ (2,+∞) (-2,0) -2 (-∞,-2) x 解：定义域x不为0， y′=2-8/x2 由y′=0可得x1=2, x2=-2 当x变化时，y′ , y的变化情况如下表： 因此，当x=2时， y极小值=8 x=-2时极大值为-8 极大值-8 极小值8