1.3.2函数的极值与导数.ppt

探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点? 解法2:分离变量也可通过函数值域求出a的范围. * * 1.3.2 函数的极值与导数 o a X1 X2 X3 X4 b a x y 【复习】已知函数 f(x)=2x3 - 6x2 + 7, 求f(x)的单调区间,并画出其大致图象; 0 x y 【思考】函数 f(x)在 x＝0 和 x＝2 处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系? 2 一、复习与引入: 用“导数法”求函数的单调性及单调区间的步骤： 极大值 极小值 二、新课——函数的极值: 一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义, 1.如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值; 2.如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值x0,极值指的是对应的函数值f(x0). y x x0 f(x) f(x0) x0 f(x0) (1)一个函数的极大值在函数的整个定义域内最大. （ ） 考考你的判断力： (2)函数的极值是唯一的. （ ） (3)函数的极大值一定大于极小值. （ ） (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. （ ） o a X1 X2 X3 X4 b a x y × × × √ o a X1 X2 X3 X4 b a x y 如图，函数 y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？ 探索思考： o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x 增 f?(x) 0 f?(x) =0 f?(x) 0 极大值 减 f?(x) 0 f?(x) =0 增 减 极小值 f?(x) 0 请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？ 左正右负为极大，左负右正为极小 函数的极值与导数: x y O f (x)?x3 若寻找可导函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可? f?(x)=3x2 当f?(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点. f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 探索 * 函数 的定义域为开区间 导函数 在 内的图像如图所示，则函数 在开区间 内有（ ）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4 A f?(x) 0 f?(x) 0 f?(x) =0 注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别 尝试高考 三、例题选讲: 例1:求y=x3/3-4x+4的极值. 解: 令 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, ,y的变化情况如下表: y y′ (2,+∞) 2 (-2,2) -2 (-∞,-2) x 因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3. + ↗ 0 28/3 － ↘ 0 -4/3 + ↗ 求函数f(x)的极值的步骤如下: (2).求导数 (3).求方程 的根. (4)检查 在方程根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值. 方法小结： (1).确定函数的定义域； 强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号. (最好通过列表法) 练习 求下列函数的极