高三立体几何试题及答案.doc

1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱 AD上一点，且AP＝eq \f(a,3)，过B1，D1，P的平面交底面ABCD 于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________. 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°， 且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD， 当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________. 3．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点． (1)求证：平面PDC⊥平面PAD； (2)求点B到平面PCD的距离； 4．如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC＝CD＝BO＝PO，EA＝AO＝eq \f(1,2)CD. (1)求证：BC⊥平面ABPE； (2)直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M； 若不存在，说明理由．  5．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点． (1)求证：EF∥平面ABC1D1； (2)求证：EF⊥B1C； (3)求三棱锥B1－EFC的体积． 6．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90° (1)求证：PC⊥BC (2)求点A到平面PBC的距离． 1.　eq \f(2\r(2),3)a　∵B1D1∥平面ABCD，平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，∴B1D1∥PQ， 又B1D1∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ， ∴eq \f(PQ,PM)＝eq \f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM， 又△APM∽△ADP，∴eq \f(PM,BD)＝eq \f(AP,AD)＝eq \f(1,3)，∴PM＝eq \f(1,3)BD， 又BD＝eq \r(2)a，∴PQ＝eq \f(2\r(2),3)a. 2.[答案]　2eq \r(2)　∵DA＝DC＝DD1且DA、DC、DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M⊥平面A1C1D，∴DM＝2eq \r(2). (2)过A作AF⊥PD，垂足为F. 在RtPAD中，PA＝2，AD＝BC＝4，PD＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)， AF·PD＝PA·AD，∴AF＝eq \f(2×4,2\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，即点B到平面PCD的距离为eq \f(4\r(5),5). 4.[解析]　(1)∵PO⊥平面ABCD， BC?平面ABCD，∴BC⊥PO， 又BC⊥AB，AB∩PO＝O，AB?平面ABP，PO?平面ABP，∴BC⊥平面ABP， 又EA∥PO，AO?平面ABP，∴EA?平面ABP，∴BC⊥平面ABPE. (2)点E即为所求的点，即点M与点E重合． 取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F，∵EA＝1，PO＝2，∴NO＝1， 又EA与PO都与平面ABCD垂直， ∴EF∥AB，∴F为PB的中点，∴NF＝eq \f(1,2)OB＝1，∴EF＝2， 又CD＝2，EF∥AB∥CD，∴四边形DCFE为平行四边形，∴DE∥CF， ∵CF?平面PBC，DE?平面PBC，∴DE∥平面PBC.∴当M与E重合时即可． 5.　(1)证明：连结BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B，又EF?平面ABC1D1，D1B?平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1. (2)证明：∵B1C⊥AB，B1C⊥BC1，AB∩BC1＝B， ∴B1C⊥平面ABC1D1， 又BD1?平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1， 又EF∥BD1，∴EF⊥B1C. (3)解：∵CF⊥BD，CF⊥BB1，∴CF⊥平面BDD1B1， 即CF⊥平面EFB1，且CF＝BF＝eq \r(2) ∵EF＝eq \f(1,2)BD1＝eq \r(3)，B1F＝eq \r(BF2＋BB12)＝eq \r(?\r(2)?2＋22)＝eq \r(6)，B1E＝eq \r(B1D12＋D1E2)＝eq \r(12＋?2\r(2)?2)＝3， ∴EF2＋B1F2＝B1E2，即∠EFB1＝90°， ∴VB1－EFC＝VC－B1EF＝eq \f(1,3)·S△B1EF·CF ＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)·EF·B1F·CF＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \r(6)×eq \r(2)＝1. 6.[解析]　(1)∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC. 由∠BCD＝90°知，BC⊥DC， ∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC. (2)设