全国通用2017届高考数学一轮总复习第十一章计数原理11.2二项式定理课件理.ppt

知识清单 突破方法 栏目索引 知识清单 突破方法 栏目索引 知识清单 突破方法 栏目索引 §11.2　二项式定理 高考理数 1.二项式定理 (a+b)n=?????an+?an-1b1+…+?an-kbk+…+?bn(n∈N*)????. 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中的系数?(k=0,1,2,…,n)叫做????二项式系数????.二项展开式中的?an-kbk叫做二项展开式的????通项????,用 Tk+1表示,即通项为展开式的第k+1项:Tk+1=?????an-kbk????. 注意:(1)Tk+1指的是第k+1项,?是第k+1项的二项式系数. (2)(a+b)n与(b+a)n相同,但具体到它们展开式的某一项却是不同的,所以公式中的a与b位置不能颠倒. 知识清单 【知识拓展】 1.二项式的项数与项 (1)二项式的展开式共有n+1项,?an-kbk是第k+1项.即k+1是项数,?an-kbk是项. (2)通项是Tk+1=?an-kbk(k=0,1,2,…,n).其中含有Tk+1,a,b,n,k五个元素,只要知道其中四个即可求第五 个元素. 2.二项式系数与展开式项的系数的异同 在Tk+1=?an-kbk中,?就是该项的二项式系数,它与a,b的值无关;Tk+1项的系数指化简后除字母以外 的数,如a=2x,b=3y,Tk+1=?2n-k·3kxn-kyk,其中?2n-k3k就是Tk+1项的系数. 　　利用二项式定理求展开式的通项、特定项、二项式或项的系数,一般是将通项公式化简后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为0;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项公式即可. 例1　已知?的展开式的前三项中的系数成等差数列. (1)求展开式中所有的有理项; (2)求展开式中系数最大的项. 解析　(1)∵?的展开式中的前三项系数依次为?,??,??, 由这三个数成等差数列得2×??=?+??,即n2-9n+8=0, ∴n=8或n=1(舍去). ∵二项展开式的通项Tr+1=?·(?)8-r·?·(?)r=?·?·?, 方法1　求展开式中的特定项或特定项的系数 突破方法 ∴要使Tr+1项为有理项,则?∈Z, ∴r=0,4,8. ∴有理项为T1=x4,T5=?·?·x=?x,T9=?x-2. (2)设第k项的系数最大,则有 ?解得3≤k≤4, 故系数最大的项为第三项T3=7?和第四项T4=7?. 1-1????(2015陕西一模,13,5分)?的展开式中的常数项等于　　　????. 答案　-160 解析?????的展开式的通项为Tr+1=?·26-r·(-1)r·x3-r, 令3-r=0,求得r=3,故展开式中的常数项等于-23·?=-160. 　　(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)n(a、b∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可. (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=?,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=?. 例2????(2016江西横峰一模,17,12分)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求: (1)a0+a1+…+a7的值; (2)a0+a2+a4+a6及a1+a3+a5+a7的值; (3)二项式系数和. 解析　(1)令x=1,则a0+a1+…+a7=-1. (2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=2 187,令x=0,则a0=1, 于是a1+a2+a3+…+a7=-2, a1+a3+a5+a7=-1 094, 方法2　二项式系数和与各项的系数和的问题 a0+a2+a4+a6=1 093. (3)二项式系数和为?+?+…+?=27=128. 2-1????(2016贵州兴义调研)在(2x-3y)10的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 解析　设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10.(*) 各项系数和即为a0+a1+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10. 由于(*)是恒等式,故可