江苏省启东中学高三数学复习:第3讲 恒成立与存在性问题 教案_11952014.doc
第3讲恒成立与存在性问题
恒成立与存在性问题是江苏高考中常考的考点,一般在押轴题中考,常见题型有:单函数单变量、单函数双变量、双函数双变量、多参数等题型是。
(1)恒成立问题的原理:设函数的定义域为区间
①若对恒成立或
②若对恒成立或
常见处理方法:1.找最值;2.分离常数法(转化成求最值问题);3.数形结合法等。
(2)能成立问题的原理:设函数的定义域为区间
①若存在,使得对成立或
②若存在,使得对成立或
一.小题热身:
1.(2019苏锡常镇二调)已知e为自然对数的底数,函数的图像恒在直线上方,则实数a的取值范围为.
14..思路分析:根据条件,将问题转化为不等式的恒成立问题处理,通过分类讨论,合理的代数变形,将问题进一步转化为熟悉的问题,结合图像,利用导数刻画函数的图像及性质进行求解.
解法1:由题意得不等式在上恒成立,即恒成立,根据图像可得当时不等式不恒成立;当时,不等式恒成立;当时,令,,设函数与图像的公切线,切点,且因为,,所以的斜率?,因为点在函数的图像上,所以?,由??可得(舍),则,所以
解法2:同解法1得,当时,因为,,所以不等式恒成立;当时,不等式等价于,令,
则,因为,所以,故函数在上递减,设函数的图像在处的切线经过点,则切线斜率,化简得,即,解得(舍),所以,结合图像可得
2.(2019南通学科基地卷)已知,,,若对,存在,使得方程总有解,则实数a的取值范围为______.
【答案】
解:当时,为减函数,由,得的值域为,
若对,存在,使得方程总有解,
则的值域B应满足,
,令,则,即,
若,即,此时,
此时由,得,若,即,,
则在上为减函数,在上为增函数,
当时,函数取最小值,满足条件.
综上可得,实数a的取值范围为.故答案为.
二。典例解析:
题型一单函数双变量的恒成立与存在性问题
例1.已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a0,a≠1).
(1)当a1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求a的取值范围.
解(1)f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.
由于a1,故当x∈(0,+∞)时,lna0,ax-10,
(2)综上,a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,e)))∪[e,+∞).
跟踪训练1:
1.已知函数f(x)=eq\f(1,2)x2-alnx(a0),若存在x1,x2∈(1,e),且x1x2,使得f(x1)=f(x2)=0,则实数a的取值范围是________.
答案:
易知f(x)在(0,eq\r(a))上单调递减,在(eq\r(a),+∞)上单调递增,
由题意得,f(x)在(1,e)上有二零点,
eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<\r(a)<e,,f(1)>0,,f(\r(a))<0,,f(e)>0))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<a<e2,,\f(1,2)>0,,a>e,,a<\f(e2,2)))恒成立e<a<eq\f(e2,2)
2.已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx,a∈R.若对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,恒有f(x1)+2x1<f(x2)+2x2成立,求实数a的取值范围.
【解】设g(x)=f(x)+2x,则g(x)=ax2-ax+lnx,对任意x1,x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,+∞)),x1x2,g(x1)g(x2)恒成立,等价于g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,+∞))上单调递增,
而g′(x)=2ax-a+eq\f(1,a)=eq\f(2ax2-ax+1,x).
当a=0时,g′(x)=eq\f(1,x)0,此时g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,+∞))上单调递增;
当a≠0时,只需g′(x)≥0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,+∞))上恒成立,因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,+∞)),只要2ax2-ax+1≥0,则需要a>0.
对于函数y=2ax2-ax+1,过定点(0,1),对称轴x=eq\f(1,4)0,只需Δ=a2-8a≤0,即0a≤8.综上可得0≤a≤8
题型二双函数双变量的恒成立与存在性问题
例2.已知函数f(x)=x2-2ax+1,g(x)=eq\f(a,x),其中a0,x≠0.
(1)对任意x∈[1,2],都有f(x)g