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定积分的应用
—元素法
能用定积分计算的量U，应满足下列三个条件
U与变量x的变化区间[a,b]有关；(2)U对于区间[a,b]具有可加性；
(3)U部分量?U
可近似地表示成f(?
i i
)??x.
i
写出计算U的定积分表达式步骤
根据问题，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]；
设想将区间[a,b]分成若干小区间，取其中的任一小区间[x,x?dx]，求出它所对应的部分量?U 的近似值
?U ? f(x)dx ( f(x)为[a,b]上一连续函数)
则称f(x)dx为量U的元素，且记作dU ? f(x)dx。
以U的元素dU作被积表达式，以[a,b]为积分区间，得U??b
a
f(x)dx
这个方法叫做元素法，其实质是找出U的元素dU的微分表达式dU ? f(x)dx(a?x?b)
平面图形的面积
一、直角坐标的情形
由曲线 y?f(x) 与y?g(x) 及直线x?a，x?b?a?b?且所围成的图形面积A。
A ? ?b
a
f(x)? g(x) dx
例计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形面积。
解：选取y为积分变量，则?2?y?4
1 4? 1 2?
dA?[(y?4)? y2]dy，A?? ?y?4?? y dy?18
2 ?2? 2 ?
? ?
例求椭圆x2?y2
a2 b2
?1所围成的面积(a?0,b?0)。
解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。
1?x2a2取x为积分变量，则0?x?a
1?
x
2
a2
x2
，dA?ydx ?b 1? dx
，
a2
故 A?4?a
a x2
?f(x)dx?4 b 1? dx
?
0 0 a2
作变量替换 x?acost (0?t?
二、极坐标情形
?)，得A??ab
2
设平面图形是由曲线r??(?)及射线???，???所围成的曲边扇形。
取极角?为积分变量，则?????,在平面图形中任意截取一典型的面积元素?A，它是极角变化区间为[?,??d?]的窄曲边扇形。
?A的面积可近似地用半径为r??(?)，中心角为d?的窄圆边扇形的面积来代替，
即?A?
1[?(?)]2d?，从而得到了曲边梯形的面积元素dA?
2
1[?(?)]2d?
2
从而A?
??1
? 2
?2(?)d?
例计算心脏线r?a(1?cos?) (a?0)所围成的图形面积。
解：由于心脏线关于极轴对称，A?2??1
a2(1?cos?)2d??
3a2?
0 2 2
2例：计算r?
2
sin?，r2?cos2?围成图形的面积
体积
一、旋转体的体积
计算由曲线y? f(x)直线x?a，x?b及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而生成的立体的体积。
体积元素为dV ???f(x)?2dx，所求的旋转体的体积为V?
?b??f(x)?2dx，
a
由曲线0?a?x?b,0?y? f(x)绕y轴旋转一周而生成的立体的体积。
V??b2?xf(x)dx
a
由曲线x??(y)直线y?c，y?d及y轴所围成的曲边梯形，绕y轴旋转一周而生成的立体的体积。
体积元素为dV????(y)?2dy，所求的旋转体的体积为V?
二、平行截面面积为已知的立体的体积(截面法)
?d???(y)?2dy
c
取定轴为x轴，且设该立体在过点x?a，x?b且垂直于x轴的两个平面之内，以
A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积。
体积元素为 d