二阶偏微分方程分类.doc

§3? 二阶偏微分方程的分类 一、??? 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 ??? 考虑二阶偏微分方程 ?????????????????????????????????????? (1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数. ??? [特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程 称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某些参数，且有.如果点x?=(x1?,x2?,…,xn?)满足特征方程，即 则过x?的平面的法线方向l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. ??? [n个自变量方程的分类与标准形式]? 在点P(x1?,x2?,…,xn?)，根据二次型 ??????? (ai为参量) 的特征根的符号，可将方程分为四类： ??? (i)?????? 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型. ??? (ii)??? 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型. ??? (iii)?? 特征根都不为零，有个具有同一种符号(nm1)，其余m个具有另一种符号，称方程在点P为超双曲型. ??? (iv)???? 特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型. ??? 若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型. ??? 在点P作自变量的线性变换可将方程化为标准形式： ??? 椭圆型： ??? 双曲型： ??? 超双曲型： ??? 抛物型： 式中Φ为不包含二阶导数的项. ??? [两个自变量方程的分类与标准形式]? 方程的一般形式为 ??????????????????????????????? (2) ?a11,a12,a22为x,y的二次连续可微函数，不同时为零. ?? ?方程 a11dy2a12dxdy+a22dx2=0 称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. ??? 在某点P(x0,y0)的邻域D内，根据Δ=a122－a11a12的符号将方程分类： ??? 当Δ0时，方程为双曲型； ?? ?当Δ=0时，方程为抛物型； ??? 当Δ0时，方程为椭圆型. 在点P的邻域D内作变量替换，可将方程化为标准形式： （i）????????????????? （i）?????? 双曲型：因Δ0，存在两族实特征曲线，，作变换，和方程化为标准形式 或?????????????????????????? （ii）??????????????? （ii）???? 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线，取二次连续可微函数，使，作变换，，方程化为标准形式 （iii）?????????????? （iii）??? 椭圆型：因Δ0，不存在实特征曲线，设 为的积分，不同时为零，作变量替换，,方程化为标准形式 .页眉. 页脚.