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专转本数学微分方程.pptx

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微分方程第一节 微分方程的基本概念第二节 一阶微分方程第三节 可降阶的高阶微分方程第四节(*) 二阶常系数线性微分方程例2. 质量为m的物体自由落下, t =0 时,初始位移和初速度分别为求物体的运动规律.设运动方程为S=S(t),则两次积分分别得出:条件代入:第一节 微分方程的概念一.实例例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标,求此曲线方程.设曲线方程为 y = y(x),则二. 概念1. 微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例)未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章内容2. 阶:未知函数的最高阶导数的阶数.必须出现例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程.n阶方程一般形式:3. 解:如果将函数 y=y(x) 代入方程后恒等,则称其为方程的解.通解如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同特解必须独立不含任意常数的解n阶方程通解一般形式:例:验证 是 的通解对 用隐函数求导法得:故 是方程的解,4. 定解条件:确定通解中任意常数值的条件.定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解;定解条件中自变量取相同值时,叫做初始条件.积分曲线族积分曲线5. 几何意义:通解特解且含有一个任意常数.通解第二节 一阶微分方程本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型.一、可分离变量的方程一阶微分方程一般形式:我们研究其基本形式:(1)如果可化成:则(1)称为可分离变量的方程.解法:1.分离变量:2.两边积分:3.得出通解:只写一个任意常数例:绝对值号可省略任意常数,记为C定解条件代入:C=2故特解为:令 化成可分离变量方程.二.齐次方程的解法齐次方程如果方程(1)可化成:解法:例:自由项三.一阶线性方程微分方程一般形式:(2)一阶线性非齐次方程(3)一阶线性齐次方程方程(3)是可分离变量方程,其通解为:常数变易法方程(2)的通解设(2)的通解:代入方程(2):则方程(2)的通解:(4)注:1. 一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4) 计算皆可;.2. 公式(4)中不定积分只求一个原函数即可;非齐次方程解的结构3.齐次方程的通解非齐次方程的特解例:例: 求方程 满足初始条件 的特解.由 得:将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程:故所求特解为:当 时,可以化成线性方程:两端同除以令四.伯努利方程的方程称为伯努利方程一般形式为:当 n= 0 或1时,这是线性方程.则关于 z 的线性方程求出通解后再还原回 y两端同除以令代入例:通解为(1).当P(x,y),Q(x,y)在单连域D内具有一阶连续偏导数,且时,上述方程为全微分方程.(3). 对于非全微分方程,有时可以找到函数, 使得五.全微分方程对于微分方程全微分方程则通解为注:(2).积分因子(4). 观察法往往很实用.全微分方程因为取例:全微分方程解法一:解法二:由于则 是积分因子,易知也是积分因子则 是积分因子,非全微分方程例:同乘以积分因子并积分得通解:例:非全微分方程变形注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型例:视 x 为 y 函数,可化成线性方程通解为:
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