GCT高等数学微分方程.doc

第七章：微分方程 主讲-----姜进进 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 会用降阶法解下列微分方程：， 和 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 可降阶的高阶微分方程， 和 二阶常系数齐次线性微分方程； 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点： 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 §7( 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映( 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究( 因此如何寻找出所需要的函数关系( 在实践中具有重要意义( 在许多问题中( 往往不能直接找出所需要的函数关系( 但是根据问题所提供的情况( 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式( 这样的关系就是所谓微分方程(含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。历史悠久（与微积分同时诞生），应用广泛。 微分方程建立以后( 对它进行研究( 找出未知函数来( 这就是解微分方程( 例1 一曲线通过点(1( 2)( 且在该曲线上任一点M(x( y)处的切线的斜率为2x( 求这曲线的方程( 解 设所求曲线的方程为y(y(x)( 根据导数的几何意义( 可知未知函数y(y(x)应满足关系式(称为微分方程) ( (1) 此外( 未知函数y(y(x)还应满足下列条件( x(1时( y(2( 简记为y|x(1(2( (2) 把(1)式两端积分( 得(称为微分方程的通解) ( 即y(x2(C( (3) 其中C是任意常数( 把条件“x(1时( y(2”代入(3)式( 得 2(12(C( 由此定出C(1( 把C(1代入(3)式( 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x(1(2的解)( y(x2(1( 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶( 当制动时列车获得加速度(0(4m/s2( 问开始制动后多少时间列车才能停住( 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米( 根据题意( 反映制动阶段列车运动规律的函数s(s(t)应满足关系式 ( (4) 此外( 未知函数s(s(t)还应满足下列条件( t(0时( s(0( ( 简记为s|t(0=0( s(|t(0=20( (5) 把(4)式两端积分一次( 得 ( (6) 再积分一次( 得 s((0(2t2 (C1t (C2( (7) 这里C1( C2都是任意常数( 把条件v|t(0(20代入(6)得 20(C1( 把条件s|t(0(0代入(7)得0(C2( 把C1( C2的值代入(6)及(7)式得 v((0(4t (20( (8) s((0(2t2(20t( (9) 在(8)式中令v(0( 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 (s)( 再把t(50代入(9)( 得到列车在制动阶段行驶的路程 s((0(2(502(20(50(500(m)( 几个概念( 微分方程( 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程( 叫微分方程( 常微分方程( 未知函数是一元