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第八章 常微分方程 §8-1 微分方程的概念 定义1：含有未知数的导数或微分的方程叫微分方程。 注：未知函数为一元函数的微分方程叫常微分方程，未知函数为多元函数的微分方程叫偏微分方程。 定义2：代入微分方程中，使其成为恒等式的函数叫微分方程的解。 注：含任意常数的个数等于微分方程的阶数的解叫微分方程的通解，给通解中任意常数以确定值的解叫微分方程的特解。 为了得到满足要求的特解，必须根据要求对微分方程附加一定的条件，这些条件叫初始条件。 例1：验证函数是一阶微分方程的特解 解：由已知函数可得：， 则函数是微分方程的特解。 例2：验证函数是一阶微分方程的通解 解：由已知函数可得： 且 则函数是微分方程的通解。 §8-2 一阶微分方程 一、型的方程 方法：两边积分可求得含有一个任意常数的通解。 例：求微分方程的通解 解：两边积分可得： 二、可分离变量的微分方程和齐次方程 1.可分离变量的微分方程 （1）形如的微分方程称为可分离变量的微分方程。 （2）求解方法： A．将方程分离变量，则有： B．等式两边求积分，可得通解为： C．代入初始条件可得相应的特解 例1：求微分方程的通解 解：将方程分离变量： 两边求积分： 则，即 例2：求微分方程的通解 解：将方程分离变量： 两边求积分： 则，即 由仍是任意常数，因此设，则方程通解为 注：为方便起见可将写成，只须知道后面得到任意常数C是可正可负即可。 例3：求微分方程满足的特解 解：分离变量： 两边积分：，则 将代入方程得，则微分方程特解为 2.齐次方程 （1）形如的一阶微分方程，称为齐次微分方程。 （2）求解方法 可用变量替换把原方程化为关于和的可分离变量的微分方程。 A．令，则，两边求导得： 则原方程变为： B．分离变量得： C．两边积分，再把还原为即可得原方程的通解 例1：求微分方程的通解 解：整理方程得： 令，则，，则原方程变为： 分离变量可得： 两边积分：，即 ， 将代入方程得通解为：，即 例2：求微分方程的通解 解：令，则，，则原方程变为： 分离变量：，两边积分： 则 将代入方程得通解为： 三、一阶线性微分方程 （1）形如的微分方程称为一阶线性微分方程，称为自由项。 当时，方程为，称为一阶齐次线性方程。 当时，方程为，称为一阶非齐次线性方程。 （2）求解方法（常数变易法） A．求一阶齐次线性方程的通解 分离变量得：，两边积分得： 则为一阶齐次线性方程的通解。 B．求一阶非齐次线性方程的通解 齐次线性方程是非齐次线性方程的特殊情况，因此可以假设把齐次方程的通 解中的常数换成函数，即为非齐次线性方程的通解。 把假设解代入方程得： 将代入假设解中，即得一阶非齐次微分方程的通解： 例1：求微分方程的通解 解1：先求的通解，分离变量： 两边积分：，， 设为原方程的通解，代入得： 即，则 因此通解为 解2：直接利用公式求解 由，则通解为： 例2：求微分方程的通解 解：由，则通解为： 例3：求微分方程的通解 解：整理方程得：，则 则通解为： ，即 例4：求微分方程满足条件下的特解 解：由，则通解为： ，即 将代入通解，得，则方程的特解为： 例5：求微分方程满足条件的特解 解：由，则通解为： ，即 将代入通解中，得：，则方程的特解为： §8-3 二阶微分方程 一、可降阶的二阶微分方程 1. 型的方程 解法：通过直接积分的方法可求得含有两个任意常数的通解。 例1：求微分方程的通解 解：直接积分两次 2. 型的不显含的方程 解法：令，则，方程可变为关于与的一阶微分方程 例2：求微分方程的通解 解：令，则，代入原式得 ，即 分离变量： 两边积分：，则 两边积分： 例3：求微分方程的通解 解：令，则，代入原式得 即： 由公式可得： 3. 型的不显含的方程 解法：令，则，因此方程可变为关于和的一阶微分方程，进而求解。 例4：求微分方程的通解 解：令，则，代入方程得： ，即 分离变量可得： 两边积分可得： ，即 分离变量两边积分得： ，即 二、二阶常系数线性微分方程解的性质 二阶常系数线性微分方程：如，其中 二阶常系数齐次线性微分方程：如，其中 线性相关：若函数与之比为常数，称与是线性相关的。 线性无关：若函数与之比不为常数，称与是线性无关的。 定理：若函数与是方程的两个线性无关的解， 则是该方程的通解，其中是任意常数。 定理：若是方程的一个特解，是方程的通解，则是方程的通解。 定理：若函数与分别是方程与的解，则是方程的解。 三、二阶常系数齐