交大刘迎东微积分习题答案.doc

8.6 多元函数微分学的几何应用 习题8.6 求曲线在相应的点处的切线及法平面方程。 解：点为，切向量为所以切线为法平面方程为，即 求曲线在对应于的点处的切线及法平面方程。 解：点为，切向量为所以切线为法平面方程为，即 求曲线在点处的切线及法平面方程。 解：，在点处，所以切向量为所以切线为法平面方程为。 求曲线在点处的切线及法平面方程。 解：，在点处，所以切向量为所以切线为法平面方程为。即 求出曲线上的点，使得该点的切线平行于平面 解：设所求点为，此处切向量为。平面的法向量为，所以，解得或，所求点为和 求曲面在点处的切平面及法线方程。 解：令 ，则，在点处取值得，所以切平面为，即法线为 求曲面在点处的切平面及法线方程。 解：令 ，则，在点处取值得，所以切平面为，即。法线为 求椭球面上平行于平面的切平面方程。 解：由上题，椭球面上点处的切平面为，与平行即要求，解得切点为，所以切平面为 求旋转椭球面上点处的切平面与面的夹角的余弦。 解：旋转椭球面上点处的切平面的法向量为，面的法向量为，所以夹角余弦为 试证曲面上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于。 证明: ,所以曲面上处的切平面为，在坐标轴上的截距分别为其和为。 求螺旋线在点处的切线及法平面方程。 解：切向量为所以切线为法平面方程为。 在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面，并写出此法线的方程。 解：曲面上点处的法向量为，因为该点处的法线垂直于平面，所以，所以点为，法线为 求下列曲线在给定点处的切线方程与法平面方程： 曲线，在处； 解：点为，切向量为 所以切线为法平面方程为 ，即 。 曲线，在点处； 解：切向量为所以切线为法平面方程为 ，即 曲线，在点处； 解：曲面在点处的法向量为，的法向量为，所以曲线在点处的切向量为所以切线为法平面方程为，即 曲线，在处； 解：点为，切向量为 所以切线为 法平面方程为 ，即 。 证明：螺旋线的切线与轴成定角。 证明：切向量为，轴方向向量为，二者夹角余弦为为常值，所以结论成立。 证明:球面在球面上与处的切平面互相平行。 证明：球面在球面上与处的切平面的法向量分别为与，所以它们平行。 求椭球上平行于平面 的各切平面方程。 解：设切点为，则法向量为，，由此解出切点为，所以切平面为 即 求球面与椭球面在点处的交角 解：球面点处的法向量为，椭球面在点处的法向量为，它们的夹角余弦为，所以交角