概率论中心极限定理.ppt

第三章

3.4节中心极限定理主要内容问题提出林德贝格-列维(中心极限定理)棣莫佛-拉普拉斯定理归纳小结一、问题的提出例如:考虑大炮的射程.1受风速、风向影响产生的误差；2在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响。3如大炮炮身结构导致的误差；4发炮士兵技术引起的误差等等。5对我们来说重要的是这些随机因素的总的影响。6大炮的射程受很多随机因素的影响:7瞄准时的误差；8中心极限定理的客观背景9由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量研究表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.的分布函数的极限.二、中心极限定理定理4.6林德贝格-列维(中心极限定理)（证略）定理（说明）~近似地即，n充分大时，有~近似地可化为记~近似地则有大样本统计推断的基础~近似地例1：某汽车销售点每天出售汽车数服从参数为2的泊松分布.若一年365天都经营汽车销售,且每天出售的汽车是相互独立的,求一年中售出700辆以上汽车的概率.1解记Xi为第i天出售的汽车数量,2利用林德贝格-列维中心极限定理,可得3则一年售出700辆以上汽车的概率近似为0.8665.4例2：某餐厅每天接待400名顾客,设每位顾的消费额(元)服从(20,100)上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独立的.试求:(1)该餐厅每天的平均营业额;(2)该餐厅每天的营业额在平均营业额?760元的概率.而该餐厅每天的营业额为解设Xi为第i位顾客的消费额,Xi~U?20,100?.所以E?Xi??60,D?Xi??1600?3.利用林德贝格-列维中心极限定理,知这表明:该餐厅每天的营业额在23240到24760之间的概率近似为0.90.(1)该餐厅每天的营业额为例3：某人钓鱼平均每次钓到2kg,方差2.25kg2.问:至少钓多少次鱼,才能使总重量不少200kg的概率为0.95?解设此人共钓n次,各次钓到的鱼的重量为随机变量Xi,则E?Xi??2,D?Xi??2.25.令,根据林德贝格-列维中心极限定理,Z近似服从N?2n,2.25n?.则有.即n满足方程查表得解方程,得n=113.12.因此,取n=114即可.定理4.7棣莫佛-拉普拉斯定理棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理独立同分布，且具有数学期设随机变量望和方差：记~近似地考虑特殊情况:均服从参数为p的0-1分布于是有~近似地【棣莫弗-拉普拉斯中心定理】相互独立,均服从参数为p的设随机变量0-1分布，则对任意实数x，有即，n充分大时，有~近似地~近似地2、棣莫弗-拉普拉斯中心定理相互独立,均服从参数为p的设随机变量0-1分布，则对任意实数x，有即，n充分大时，有~近似地~棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。~~近似地或即有近似计算公式0102采用正态近似.?1?如果p很小而np不太大时,采用泊松近似;?2?如果np?5和n?1?p??5同时成立时,3?实际应用中当n很大时,01注1?定理2表明正态分布是二项分布的极限分布，也称为“二项分布的正态近似”.都要求n很大.2?与“二项分布的泊松近似”相比较,两种近似02下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.例4设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元,求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.解:设10000投保人中一年死亡X人，则显然有保险公司一年的收入为：保险公司一年的支出为：（1）保险公司没有利润的概率为拉普拉斯中心极限定理*