概率论第十六讲中心极限定理.ppt

第一页，共二十九页，2022年，8月28日 中心极限定理：概率论中有关随机变量 的和的极限分布是正态分布的系列定理。 设随机变量序列 相互独立, 且有期望和方差： 令 则 第二页，共二十九页，2022年，8月28日 定理1 林德伯格（Lindberg）定理 设相互独立随机变量 满足林德伯格条件，即 有 其中， 是随机变量 的概率密度 第三页，共二十九页，2022年，8月28日 其中， 是任何实数 则n →∞，有 第四页，共二十九页，2022年，8月28日 林德伯格定理的意义: 被研究的随机变量可以被表示为， 许多相互独立随机变量的和,其中, 则这个总和服从 或近似服从正态分布. 每一个随机变量对于总和只起微小的作用, 第五页，共二十九页，2022年，8月28日 定 理 二 林德伯格-列维中心极限定理 [ 独立同分布的中心极限定理 ] 定 理 三 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 [ 二项分布以正态分布为极限分布 ] (Lindberg-levi) (De Moivre-Laplace) 第六页，共二十九页，2022年，8月28日 独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列 独立同一分布, 且有期望和方差： 则对于任意实数 x , 定理 1 第七页，共二十九页，2022年，8月28日 注 则 Y n 为 的标准化随机变量. 即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数 记 近似 近似服从 第八页，共二十九页，2022年，8月28日 中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 若联系于此随机现象的随机变量为X ， 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 则它可被看成为许多相互独立的起微小作 用的因素Xk的总和 ，而这个总和服从 或近似服从正态分布. (即这些因素的叠加)的结果. 第九页，共二十九页，2022年，8月28日 对此现象还 可举个有趣 的例子—— 高尔顿钉板 试验—— 加 以说明. 0 3 — 钉子层数 高尔顿钉板 第十页，共二十九页，2022年，8月28日 德莫佛—拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ） 设 Y n ~ B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,… 则对任一实数 x，有 即对任意的 a b, Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似) 定理2 第十一页，共二十九页，2022年，8月28日 应用1 例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击 (1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率. 中心极限定理的应用 第十二页，共二十九页，2022年，8月28日 解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数 相互独立， 设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则 由独立同分布中心极限定理, 有 第十三页，共二十九页，2022年，8月28日 (1) (2) 第十四页，共二十九页，2022年，8月28日 例2 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路 人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售 了100份报时过路人的数目，求 P (280 ? X ? 320). 解 令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出 第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100 (几何分布) 应用2 第十五页，共二十九页，2022年，8月28日 相互独立, 由独立同分布中心极限定理, 有 第十六页，共二十九页，2022年，8月28日 例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率. 解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时. 设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒) 设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒), k = 1,2,…,1900 应用3 第十七页，共二十九页，2022年，8月28日 Xk P 10 20 0.5 0.5 相互独立同分布, 第十八页，共二十九页，2022年，8月28日 第十九页，共二十九页，2022年，8月28日 例4 某车间有200台车床，每台独立工作， 开工率为0.6. 开工时