第三章配极变换和圆锥曲线..doc

第三章 配极变换和圆锥曲线 §1对射变换和配极变换 1.1对射换在第章里,我们讨论了射影平面到平面的影变换(同素变换)。设把点x映射到点x’的同素变换为： 我们在上式中用代替x’,并把三数组()解释为直线的坐标,那么就得到对射变换的概念。 由 所确定的映射,称为从平面的点x到平面的直线的一个对射变换或异素变换,简称平面的对射。 还可以写作 (3.1.2) 或对射导出从平面的直线到的点x’的一个对射变 (3.1.4) 其中Aik是矩阵(a)中元素a的代数余子式。如果平面上某一个给定点x’的方程是 其中是常是变量,把 (3.1.3)代入此式： (3.1.5) 则上式成为： 其中xi是变量,是常数(i1,2,3)。它就是平面上直线(ξ1, ξ2，ξ3)的方程,而且它就是在对射变换下点x’的原象。 等式就表示某一个给定的点x’与它的原象直线的关系。以(A)右乘两边,得 把归入非零常数中,得到： 推论1：平面对射变换保 推论2：平面对射变换把共线点变为共点线；把共点线变为共线点。平面对射变换的逆变换是： (3.1.6) 和 (3.1.7) 显然,两个对射变换的乘积不再是对射变换,而是直射变换,因此平面上对射变换的全体不能构成群。但是,对射变换和直射变换的全体构成一个群,叫做广义的射影群。前几章所讲的直射变换构成的群是这个广义射影群的子群。 把平面上每三点不共线的四点分别变成每三线不共点的线的对射变换唯一存在,即对射变换由四对对应元素唯一决定。 如果平面的对射变换把上的点列变为线束’,那么点列的每四个调和点对应线束’的四条调和直线。(图1) 证明：在直线上,u1y+λ2z, v=μ1y+u2z 设对射： 把点列上y,z,,v变为线束x’的则有 ， ， , , ， ， ， ∴ 推论：如果平面的对射变换把的线束变为点列’,那么线束的每 1.2 配极变换 对射变换的特殊情况叫做配极变换,它与二次曲线密切相关。 是平面到它自身的一个对射变换,如果它的平方是恒等变换(I),那么称为平面的配极变换,点对应的直线’称为点的极线；直线的对应点x’称为直线的极点。 既然2=1,那么由xr。,有(xr)r=xr2=x因此有： 对配极变换,若是的极线,则是的极点。反之亦真。 这说明极点与极线是彼此对应的。因为配极变换是对射,能把共线点变成共点线,因此如果画,那么的极线画成一个线束,而且线束的中心就是的极点。 下面研究对射成为配极变换的充要条件。若是配极变换；则I,从而,就是说方程与方程应表示同一个变换,故对于所有的i,k,有 ≠0. ，。 如果，那么，导出 与矛盾，所以。 如果aik=aki那么和是恒等的,所以得到： 对射变换成为配极变换的充要条件是ai,k=1,2,3。同时,诱导变换与逆变换是恒等的,必有AAki。这样x和x’之间,与’间的差别可以取消。以后我们把配极变换的方程写成简单的形式： (3.1.8) 式中Aik是元素aik的代数余子式。 如果点x在点的极线上,就说点x共轭于点y,或者点x配极y。 显然,点Y的极线就是点y的共轭点的轨迹。 在配极变换下,点x(x1,x2,x3)共轭于点y(y1,y2,y3)的充 (3.1.9) 证明：在配极变换下,点的极线是 x在y的极线上。 代入，得 在左边取转置矩阵： 又aik＝aki所以 y共轭于x。所以得极重要的配极原则： 如果点x共轭于点y,那么点y也共轭于点。对偶地,可以定义直线的概念： 如果直线通过直线的极点y,就说直线共轭于直线,或者直。 以直线的极点y为中心的线,是共轭于直线的直线的集合。在配极变换下,直线共轭于直线的充要条件是：