自适应控制新版_2.ppt

第二章???预备知识 ■ 第一节　范数 第一节　范数 2.1.1　 向量的范数 2.1.1　向量的范数 2.1.2　矩阵的范数 2.1.3　　矩阵的二次型估计 第二节　动态系统的稳定性理论 2.2.1　　稳定性的定义 Lyapunov稳定理论是分析系统受干扰后能否保持平衡状态的工具，是研究线性/非线性、定常/时变系统的重要方法；分Lyapunov第一和第二方法。第一法(线性化法)通过求解系统微分方程分析稳定性；第二法（直接法）：不需通过求解系统微分方程，就能分析系统稳定性，因此被广泛应用。 2.2.2 Lyapunov 稳定性定理 1.正实函数的定义：M(s)---Positive real function,PR * * ■ 第二节　动态系统的稳定性理论 ■ 第三节　平稳随机过程 ■ 第四节　 过程建模及控制理论简述 2.1.2 矩阵的范数 2.1.3 矩阵的二次型估计 3、三角不等式 O a b 4.应用：规定收敛性概念，从而讨论极限特性 存在一个 5.常用范数： ，范数具有等价性； 　　 ①? P范数：对任意≮1的正数P， ，可规定 范数:对于时间函数u(t)， 3.常用范数： 　 4.应用：用于估计非线性微分方程的解，而无需实际求解微分方程。 1.定义： 2.相容性： 一些矩阵定义： ①正定矩阵：如果方阵A的所有主子行列式均为正，则称A为正定矩阵。表示为：A＞0　　 性质：对某标量a和任意向量x，有 ②正半定矩阵：记为 ③负定矩阵： －A为正定，→A为负定. ④负半定矩阵：－A为正半定，→A为负半定. ⑤对称正半定矩阵：if A≥0, 同时 ⑥对称正定矩阵： if A0, 同时 2. Sylvester准则：判别具有二次型标量函数V（x）正 　　　　　　　　定性的准则。 对于二次型函数： 若A为对称矩阵，即 则V（x）为正定。 2.2.2 Lyapunov 稳定性定理 2.2.3 正实函数和有关定理 自动控制系统能否应用，首要条件是系统是否稳定，故对自动控制系统稳定性研究，一直是控制理论研究的重要课题。 线性定常系统中，Nyquist、Routh、Hurwitz稳定判据极为实用和方便，但对线性时变和非线性系统不能直接应用。 系统的描述： 2.2.1　稳定性的定义 若对所有： ，称 为系统一个平衡点。 ?? ?(t) x0 xe ?? ? x0 xe t0 t u ?? ? xe （全局）大范 围渐近稳定 系统渐近稳定 不稳定 Lyapunov直接法是从虚构能量的观点来分析系统稳定性的。如果一个系统储存的能量是逐渐衰减的，这个系统就是稳定的；反之，如果系统不断从外界吸收能量，系统的能量越来越大，这时系统就是不稳定的。如果我们用和向量 　　 及时间t有关的标量函数V(x,t)表示系统的能量，V(x,t)就总应该是正的。若dv(x,t)/dt0,系统就稳定。 ? Lyapunov直接法：就是用V(x,t)0和dv(x,t)/dt0的正、负来判别系统的稳定性。 ?判别稳定性的问题归结为寻找V(x,t)。 定理1：Lyapunov基本定理 令V(x,t)为连续可微的标量函数，设 l.p.d.f (local positive define function简称）表示局部正定函数，则见表： 全局一致渐近稳定 p.d.f p.d.f 渐减 局部一致渐近稳定 l.p.d.f l.p.d.f 渐减 局部渐近稳定 l.p.d.f l.p.d.f 局部一致稳定 ≥0，局部地 l.p.d.f 渐减 局部稳定 ≥0，局部地 l.p.d.f 结论 例：已知系统的运动方程如下： 定理2：线性时不变系统稳定定理，下列四种提法等价： （1）A的所有特征值都在左半开平面内； 2.2.3 正实函数和有关定理 2、定理