第2章04高斯公式.ppt

* * * * * * * * 本题的精确解 ,求积公式具有4位有效数字。 例题:分别用不同方法计算如下积分,并做比较 令I= 各种做法比较如下： 一、Newton-Cotes公式 当n=1时，即用梯形公式，I=0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式,I=0.9461359 当n=3时,I=0.9461090 当n=4时,I=0.9460830 当n=5时,I=0.9460831 二:用复化梯形公式 令h=1/8=0.125 三：用复化抛物线 令h=1/8=0.125 四、 Romberg公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831 五、Gauss公式 令x=(t+1)/2, 用2个节点的Gauss公式 用3个节点的Gauss公式 =0.9460831 比较 此例题的精确值为0.9460831... 由例题的各种算法可知： 对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2、3时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。 对复化梯形公式有2位有效数字，对复化抛物线公式有6位有效数字。 用复化梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。 用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。 用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到精度相当的结果。 总结 1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法所不能比的。 第2章 作业-2 Ch2-2 15,17,20 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第二章 数值积分 2.1 机械求积 2.2 牛顿-柯特斯公式 2.3 龙贝格算法 2.4 高斯公式 2.5 数值微分 衡量某种求积方法好坏的标准： （1）代数精度 （3）数值稳定性 （2）收敛性和收敛速度 对多少次多项式该方法无误差，即计算值是准确的。 或者说成灵敏度如何，也就是看舍入误差对计算结果影响的大小。比如病态方程组，当系数矩阵中的元素有微小变化时，引起方程组无解。这实际上是由舍入误差或者说成舍入误差的传递造成的。 即是截断误差(余项)的大小及计算量的大小。 2.4 高斯公式 2.4.1 高精度的求积公式 注意不同表示方法之间的区别： 2.4.2 高斯点的基本特征 高斯点的基本特征 2.4.3 勒让德(Legendre)多项式 勒让德多项式形式的推导 勒让德多项式形式的推导 勒让德多项式的表达式： 利用勒让德多项式构造高斯公式 三点高斯-勒让德公式 高斯-勒让德公式的特点----收敛性 复化高斯-勒让德公式 优点：（1）收敛、稳定； 缺点: （ 1）高斯点难求（即多项式的根难求）； （1）f(x) 赋值量大； 使用情况： （2）计算的积分多。 高斯公式的值随节点数目的增加而收敛到准确积分值。 （2）计算量小，代数精度高。 （2）高斯点是无理数，高斯求积系数也是无理数。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *