高斯_波涅公式的应用.pdf

网络出版时间：2013-02-19 16:34 网络出版地址：/kcms/detail/41.1084.N1634.002.html 第 31 卷 第 1 期 河 南 科 学 Vol.31 No.1 2013 年 1 月 HENAN SCIENCE Jan. 2013 文章编号：1004-3918 （2013）01-0006-04 高斯—波涅公式的应用 邢家省， 王拥军 （北京航空航天大学 数学与系统科学学院， 数学、信息与行为教育部重点实验室， 北京 １００１９１） 摘 要： 考虑曲面上高斯—波涅公式的应用问题，对有关结果给予直接的证明，并列举了一些实例 . 关键词： 高斯—波涅公式； 高斯曲率； 测地曲率 中图分类号： O 186.11 文献标识码： A Ｔｈｅ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｇａｕｓｓ－Ｂｏｎｎｅｔ Ｆｏｒｍｕｌａ Ｘｉｎｇ Ｊｉａｓｈｅｎｇ ， Ｗａｎｇ Ｙｏｎｇｊｕｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， ＬＭＩＢ ｏｆ ｔｈｅ Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ， Ｂｅｉｈａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｂｅｉｊｉｎｇ １００１９１， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ ： Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｇａｕｓｓ－Ｂｏｎｎｅｔ ｔｈｅｏｒｅｍ，ｗｅ ｇaｖｅ ａ ｄｉｒｅｃｔ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｓｏｍｅ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ ｌｉｓｔｅｄ ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ： Ｇａｕｓｓ－Ｂｏｎｎｅｔ ｆｏｒｍｕｌａ； Ｇａｕｓｓ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ； ｇｅｏｄｅｓｉｃ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ 高斯—波涅公式是微分几何中的重要定理[1鄄4] ，它描述了曲面上多边形的内角和与曲面的高斯曲率及边 界曲线上的测地曲率之间的关系 ． 对该定理的证明和推广引起了人们持续不断的兴趣，定理结果的应用也 被人们发掘出来[1鄄4] ． 我们对常见的能解决的问题结果给出整理，给予直接的证明，列举了一些实例，丰富高 斯—波涅公式的应用 ． 微分几何中其它相关问题的研究可见文献［５－１２］． １ 光滑边界单连通区域上的 Ｇａｕｓｓ－Ｂｏｎｎｅｔ 公式的应用 圻 圻 3 设曲面 S ∶r = r （u ，v）是 C 类正则曲面 ． 曲面 S 上的高斯曲率为 K ，曲面上的曲线的测地曲率为 k ，曲面 g 上的面积微元为 dA ，曲线的弧长微分为 ds ． 区域 D 的边界记为 坠D ． [1鄄4] 定理 １ （Ｇａｕｓｓ－Ｂｏｎｎｅｔ 公式） 设 D 区域是曲面 S 上的一个单连通区域，如果 坠D 是一条光滑曲线，则有 KdA + k ds=2仔 ， （１） 乙乙 乙 g