《高等代数与解析几何》试题.pdf

2006 年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题 本试卷满分150 分 考试时间 3 小时 日期：2006 年1 月15 日下午 高等代数部分（100 分） 1.(16 分) (1) 设A,B 分别是数域K 上s ×n,s ×m 矩阵，叙述矩阵方程AX B 有解的充要条件， 并且给予证明。 (2) 设A 是数域K 上s ×n 列满秩矩阵，试问：方程XA En 是否有解？有解，写出它的 解集；无解，说明理由。 (3) 设A K K B 是数域 上s ×n 列满秩矩阵，试问：对于数域 上任意s ×m 矩阵 ,矩阵方程 AX B 是否一定有解？当有解时，它有多少个解？求出它的解集。要求说明理由。 2.(16 分) (1) 设A,B 分别是数域K 上的s ×n,n ×s 矩阵，证明： rank (A −ABA) rank (A) =+rank (En −BA) −n . (2) 设A,B 分别是实数域上n 阶矩阵。证明：矩阵A 与矩阵B 的相似关系不随数域扩大 而改变。 3. (16 分) (1) 设A 是数域K 上的n 阶矩阵，证明：如果矩阵A 的各阶顺序主子式都不为0，那么A 可以分惟一的分解成A=BC, 其中B 是主对角元都为1 的下三角矩阵，C 是上三角阵即。 (2) 设A 是数域K 上的n 阶可逆矩阵，试问：A 是否可以分解成A=BC, 其中B 是主对角 元都为1 的下三角矩阵，C 是上三角阵即？说明理由。 4.(10 分) (1) 设A 是实数域R 上的n 阶对称矩阵，它的特征多项式f (λ) 的所有不同的复根为实数 λ,λ ,⋅⋅⋅,λ . 把A 的最小多项式m(λ) 分解成R 上不可约多项式的乘积。说明理由。 1 2 s (2) 设A 是n 阶实对称矩阵，令Α(α) Aα, ∀α∈R n 根据第(1) 问中m(λ) 的因式分解，把R n 分解成线性变换A 的不变子空间的直和。说明理 由。 5.(22 分) 设X {1,2,=⋅⋅⋅,n}，用CX 表示定义域为X 的所有复值函数组成的集合，它对于函数的 加法和数量乘法成为复数域C 上的一个线性空间. n 对于f (x ),g (x ) ∈C X ，规定f (x ),g (x ) ∑f ( j )g ( j ) ， j 1 X X 这个二元函数是复线性空间 上的一个内积，从而 成为一个酉空间。 C C 2π 1 i 设 X ( ) kj n p (x ), p (x ), ⋅⋅⋅, p (x ) ∈C ，且满足p k j ω , ∀j ∈X . 其中, ω e . 1 2 n n (1