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北京大学2007高等代数与解析几何试题解答.pdf

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北京大学2007 年《高等代数与解析几何》试题解答 北京大学2007 年高等代数与解析几何试题 解 答 1、回答下列问题: (1)问是否存在n n 阶方阵A, B ,满足AB −BA E (单位矩阵)?又,是否存在 维 线性空间上的线性变换A ,B ,满足AB −BA E (恒等变换)? 若是,举出例子;若否,给 出证明. 【解】否,下面给予证明.对于任意n 阶方阵A, B ,若AB −BA E ,则两边取矩阵的 迹,并注意到tr(AB) tr(BA) ,得0 n ,矛盾.所以不存在方阵A, B ,使AB −BA E . 对于线性变换A ,B ,取线性空间的一个基,并设A ,B 在这个基下的矩阵分别为A, B , n 若AB −BA E ,则相应的有AB −BA E ,矛盾.所以不存在 维线性空间上的线性变 换A ,B ,满足AB −BA E . 3 (2 )设n 阶矩阵A 的各行元素之和为常数 ,则A 的各行元素之和是否为常数?若是, c 是多少?说明理由. T n 【解】是.设 是 维列向量,则由A 的各行元素之和为常数 ,知 η (1,1, ,1) c 3 3 3 3 ,从而 .所以A 的各行元素之和为常数 . Aη cη A η c η c (3 )设m ×n 矩阵A 的秩为r ,任取A 的r 个线性无关的行向量,再取A 的r 个线性 无关的列向量,组成的r 阶子式是否一定不为0 ?若是,给出证明;若否,举出反例. 【解】是.不妨考虑A 的后r 个线性无关的行向量及后r 个线性无关的列向量,所组成 的r 阶子式记为D .假设D 0 ,则仅对A 的后r 行施行初等行变换,可得 B C  A →  H , α 0  其中B 是 矩阵, 是 矩阵, 是 维行向量.根据初等行变 (m −1) ×(n −r ) C (m −1) ×r α n −r — 1 — 北京大学2007 年《高等代数与解析几何》试题解答 换不改变矩阵的秩且不改变列向量之间的线性相关性,知rank(C) r ,且α ≠0 .于是有 rank(A) rank(H ) =≥rank(C ) +rank(α) r =+1 , 矛盾. 所以D ≠0 . (4 )设A, B 都是m ×n 矩阵,线性方程组AX 0 与BX 0 同解,则A 与B 的列向 量组是否等价?行向量组是否等价?若是,给出证明
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