高等代数与解析几何2010-2011上A.doc
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武汉大学数学与统计学院2010-2011学年第1学期
《高等代数与解析几何》期末考试试题 (A卷)
班级: 学号: 姓名: 考分: 注意:所有的答题内容必须答在答题纸上,凡答在试题纸或草稿纸上的一律无效 .
10分 设矩阵 矩阵满足,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,求矩阵B的行列式.
15分 计算下面行列式的值: .
15分 设是一个维欧式空间,是中的一个非零向量. 1 证明 是的一个子空间; 2 证明的维数等于.
4. 15分 已知直线则取何值时,与共面?在共面时求出所共平面的方程.
5. 15分 设
试讨论当a,b为何值时
(I)不能由线性表示;
(II)可由惟一地线性表示,并求出表示式;
(III)可由线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式.
6. 15分 设是一个阶方阵, 且, 证明:
(1); (2) .
7. 15分 设是向量空间的一个基.矩阵是线性映射关于的这个基以及的某个基的矩阵. 证明: .
参考答案
1. 设矩阵 矩阵B满足,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则 |B| ?.
[证明] 由于易具本题 |A| 3,用A右乘矩阵方程的两端,有
又因,故
2. 计算下面行列式的值: .
[证明]
交换的地位,得所以由二元一次方程组得到
3. 设是一个维欧式空间,是中的一个非零向量. 1 证明 是的一个子空间; 2 证明的维数等于.
[证明] 1 非空,线性封闭即可。 2 令,则,所以
4. 已知直线则取何值时,与共面?在共面时求出所共平面的方程.
[证明] 共面的充分必要条件是共面,即,即所求平面通过点其方向为因此一般方程为即
5. 设
试讨论当a,b为何值时
(I)不能由线性表示;
(II)可由惟一地线性表示,并求出表示式;
(III)可由线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式.
[证明] 设 , 记 对矩阵()施以初等行变换,有
(I)当a 0, b为任意常数时,有
可知,故方程组无解,不能由线性表示.
(II)当,且时,,故方程组有惟一解:
,
则β可由惟一地线性表示,其表示式为
.
(III)当时,对施以初等行变换,有
可知 2,故方程组有无穷多解,其全部解为
,其中c为任意常数.
β可由线性表示,但表示不惟一,其表示式为
.
6. 设是一个阶方阵, 且, 证明:
(1); (2) .
[证明] ,所以存在可逆矩阵使得所以其中是维列向量.
所以
设, 证明: .
[证明] 取的基延拓成的基.所以
下证线性无关:
设,由于
所以,
所以 ,
由于是线性无关的, 所以
所以
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第 1 页 共 4 页 2011-12-29 命题人:王茂发
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1 b
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a
b
a
A
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