高等代数与解析几何2010-2011上A.doc

武汉大学数学与统计学院2010-2011学年第1学期 《高等代数与解析几何》期末考试试题 （A卷） 班级: 学号: 姓名: 考分: 注意:所有的答题内容必须答在答题纸上,凡答在试题纸或草稿纸上的一律无效 . 10分 设矩阵 矩阵满足，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，求矩阵B的行列式. 15分 计算下面行列式的值: . 15分 设是一个维欧式空间，是中的一个非零向量. 1 证明 是的一个子空间; 2 证明的维数等于. 4. 15分 已知直线则取何值时，与共面？在共面时求出所共平面的方程. 5. 15分 设 试讨论当a,b为何值时 （I）不能由线性表示； （II）可由惟一地线性表示，并求出表示式； （III）可由线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 6. 15分 设是一个阶方阵， 且， 证明： （1）； （2） . 7. 15分 设是向量空间的一个基.矩阵是线性映射关于的这个基以及的某个基的矩阵. 证明： . 参考答案 1. 设矩阵 矩阵B满足，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 |B| ？. [证明] 由于易具本题 |A| 3，用A右乘矩阵方程的两端，有 又因，故 2. 计算下面行列式的值: . [证明] 交换的地位，得所以由二元一次方程组得到 3. 设是一个维欧式空间，是中的一个非零向量. 1 证明 是的一个子空间; 2 证明的维数等于. [证明] 1 非空，线性封闭即可。 2 令，则，所以 4. 已知直线则取何值时，与共面？在共面时求出所共平面的方程. [证明] 共面的充分必要条件是共面，即，即所求平面通过点其方向为因此一般方程为即 5. 设 试讨论当a,b为何值时 （I）不能由线性表示； （II）可由惟一地线性表示，并求出表示式； （III）可由线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. [证明] 设 , 记 对矩阵（）施以初等行变换，有 （I）当a 0, b为任意常数时，有 可知，故方程组无解，不能由线性表示. （II）当，且时，，故方程组有惟一解： ， 则β可由惟一地线性表示，其表示式为 . （III）当时，对施以初等行变换，有 可知 2，故方程组有无穷多解，其全部解为 ，其中c为任意常数. β可由线性表示，但表示不惟一，其表示式为 . 6. 设是一个阶方阵， 且， 证明： （1）； （2） . [证明] ,所以存在可逆矩阵使得所以其中是维列向量. 所以 设, 证明： . [证明] 取的基延拓成的基.所以 下证线性无关： 设，由于 所以， 所以 ， 由于是线性无关的， 所以 所以 1 第 1 页 共 4 页 2011-12-29 命题人：王茂发 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 1 2 3 0 2 2 2 1 1 1 b a a b a A ?