陕西省西安市雁塔区西安高新第一中学南校区2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）.docx
陕西省西安市雁塔区西安高新第一中学南校区2024?2025学年高二下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知等差数列的前项和为，若，则（）
A．12 B．16 C．20 D．22
2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（????）
A． B．5 C． D．
3．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（）
A．事件与事件互斥 B．
C．事件与事件互斥 D．
4．已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（????）
A． B． C． D．
5．已知为正实数，，则（????）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）
A．14 B． C． D．
7．设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．已知对恒成立，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知点是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（????）
A． B．直线的斜率是
C． D．设原点为，则的面积为
10．已知数列的前项和为，下列说法正确的有（????）
A．若，则数列是等差数列
B．若数列是等差数列且，则当时，取得最大值
C．若数列是公比不等于的等比数列，则成等比数列
D．若数列是等差数列，则
11．已知函数，则下列说法正确的是（）
A．当时，在上是增函数
B．当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C．若在上为减函数，则
D．当时，若函数有且只有一个零点，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为坐标原点，点，圆，点为圆上的一动点，则的最小值为.
13．已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是．
14．如图所示，在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列中，.
(1)证明：为等差数列；
(2)求的前项和.
16．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点
(1)求C的标准方程；
(2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
17．如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））.
(1)求证：；
(2)若，直线与平面所成的角为，求长；
(3)设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由.
18．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
19．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数，是自然对数的底数（…）
(1)解方程；
(2)求不等式的解集；
(3)对于任意，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，可得：，
所以，
又，
故选D.
2．【答案】B
【详解】在中，因为，所以为锐角，故,
故
故选B.
3．【答案】B
【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误；
选项B，，，B正确；
选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；
选项D，表示选出的盒子既有笔记本，又有笔袋，故只能选第四个礼盒，故，故D错误．
故选B．
4．【答案】A
【详解】
解法1：如图，设正三棱柱外接球的球心为，半径为.
记和外接圆的圆心分别为和，其半径为，
由正弦定理得，而为的中点，
所以则
故选A.
解法2：设正三棱柱外接球的半径为
因为正三棱柱的高为，由对称性知其外接球球心必在高线的中点，
故此时.
故选A.
5．【答案】C
【详解】由得，
构造函数，则，
可知在上递增，
结合，得，即,
由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
所以.
故选C.
6．【答案】D
【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是，，，
则不获一等奖的概率分别是，，，
则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：
，
这三人都获得一等奖的概率为，
所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率.
故选D.
7．【