陕西省西安市雁塔区西安高新第一中学南校区2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）.docx
高二年级数学月考试题
一?单选题
1.已知等差数列的前项和为，若，则（）
A.12 B.16 C.20 D.22
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列及前项和的性质即可求解；
【详解】由，可得：，
所以，
又，
故选：D
2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（）
A. B.5 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二倍角公式可和正弦定理求解.
【详解】由于，故为锐角，故,
故
故选：B
3.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（）
A.事件与事件互斥 B.
C.事件与事件互斥 D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于A与C，根据互斥事件的定义判断即可；对于B，分别计算、、，验证是否成立即可；对于D，明确的含义即可求解其概率.
【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误；
选项B，，，B正确；
选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；
选项D，表示选出的盒子既有笔记本，又有笔袋，故只能选第四个礼盒，故，故D错误．
故选：B．
4.已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解法1：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圆半径，再借助于勾股定理建立方程，求出外接球半径即得.解法2：先判断正三棱柱的外接球球心在高线的中点，即可判断外接球半径继而得出外接球体积范围，排除其他三项即得.
详解】
解法1：如图，设正三棱柱外接球球心为，半径为.
记和外接圆的圆心分别为和，其半径为，
由正弦定理得：.而为的中点，
所以则
故选:A.
解法2：设正三棱柱外接球的半径为
因正三棱柱的高为，由对称性知其外接球球心必在高线的中点，
故此时.
故选:A.
5.已知为正实数，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项.
【详解】由得：，
构造函数，则，
可知在上递增，
结合，得，即
由基本不等式可知：，
当且仅当时等号成立，所以.
故选：C.
6.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）
A.14 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是，，，
则不获一等奖的概率分别是，，，
则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：
，
这三人都获得一等奖的概率为，
所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率.
故选：D.
7.设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解.
【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，
是以线段为底边的等腰三角形，且，
设（），由椭圆的离心率，
即，解得：，
由点在第一象限，得双曲线的离心率.
故选：D
【点睛】关键点点睛：结合椭圆、双曲线的定义域，用半焦距表示出离心率是求解的关键.
8.已知对恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围.
【详解】设，则.
∵时，，，∴，故在上单调递增.
∵对恒成立，∴当时，，则有，
当时，可等价变形为.
∵在上单调递增，且，（），
∴由可得，即对恒成立.
设，则.
当时，，，，故.
∴在上单调递减，
∴当时，.
∵对恒成立，
∴，即实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式等价变形为，通过构造函数，最终问题转化为转化为恒成立问题.
二?多选题
9.已知点是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（）
A. B.直线的斜率是
C. D.设原点为，则的面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由为中点和抛