平面几何——平面几何的几个重要定理.ppt

* 梅涅劳斯定理 托勒密定理 引入 塞瓦定理 应用1(可证西姆松定理） 应用2 定理证明 2答案 应用 西姆松定理 西姆松定理应用 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周游数 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周如钢 * 思考(1999年全国联赛第二试试题) 如图,在四边形中,对角线平分,在上取一点,与AC相交于点F,延长交于,求证:. 平面几何的几个重要的定理 梅涅劳斯定理及其逆定理 若一条直线截△ABC的三条边（或他们的延长线），所得交点分别为，则有. 结论反过来 也成立. (西姆松定理及其逆定理) 练习1.点位于的处接圆上,是从点向引的垂线的垂足, 求证:点共线. 课外思考 练习1.设的三条垂线的垂足分别为;从点D作的垂线,其垂足分别为,求证:在同一条直线上. 练习2:已知直线相交于点O,直线和的交点为,直线的交点为,直线的交点为,试证:三点共线. 平面几何的几个重要的定理 托勒密定理： 圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．即：若四边形ABCD内接于圆, 则有 广义的托勒密定理 在四边形ABCD中, 有:, 并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时,等号成立. 练习1.如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合),求证:PA=PB＋PC． 练习2.（第21届全苏数学竞赛） 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7 , 求证： . 平面几何的几个重要的定理 塞瓦定理： 设分别是边上的点,则三线共点的充要条件是:. B P C A R Q M 练习1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习3.证明:锐角三角形的三条高交于一点. 平面几何的几个重要的定理 西姆松定理及其逆定理: 若从外接圆上一点作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为，则三点共线. 反过来也成立. 这条直线叫西姆松线. 平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支，且因其证法多种多样：除了几何证法外，还有三角函数法、解析法、复数法、向量法等许多证法，这方面的问题受到各种竞赛的青睐，现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题. 平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质; 四个重要定理;几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点,到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的等周问题: ??? 在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。 ??? 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 ??? 在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。 ??? 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 平面几何──平面几何的几个重要定理 证:易得 由上面的三个式子相乘 证明:由分别是直线? 的交点,对所得的三角形和它们 边上的点 应用梅涅劳斯定理有: ,, ,将上面的三条式子 相乘可得应用梅涅 劳斯定理可知共线. 广义的托勒密定理:在四边形ABCD中,有: ,并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时,等号成立. 证明:四边形ABCD内取点E, 且等号当且仅当E在BD上时成立,即当且仅当四边形ABCD内接于圆时,等号成立. 平面几何──平面几何的几个重要定理 证明:如图,直线BD交AC于H,对,