平面几何的26个定理.doc

PAGE PAGE 5 高一数学竞赛班二试讲义 第1讲 平面几何中的26个定理 班级 姓名 一、知识点金 1. 梅涅劳斯定理：若直线不经过的顶点， 并且与的三边或它们的延长线 分别交于，则 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立 （用同一法证明） 2. 塞瓦定理： 设分别是的三边或它们的延长线上的点， 若三线共点，则 注：塞瓦定理的逆定理也成立 3. 托勒密定理：在四边形中，有，并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立。 EDCBA注： E D C B A 4. 西姆松定理：若从外接圆上一点作的垂线， 垂足分别为，则三点共线。 西姆松定理的逆定理：从一点作的垂线，垂足分别为。若三点共线，则点在的外接圆上。 5． 蝴蝶定理：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T， HYPERLINK /view/543312.htm连接OX，OY，OM，SM，MT。 ∵△AMD∽△CMB 　　∴AM/CM=AD/BC 　　 ∵AS=1/2AD，BT=1/2BC 　　∴AM/CM=AS/CT 　　 又∵∠A=∠C 　　∴△AMS∽△CMT 　　 ∴∠MSX=∠MTY 　　 ∵∠OMX=∠OSX=90° 　　∴∠OMX+∠OSX=180° 　　 ∴O，S，X，MHYPERLINK /view/837557.htm四点共圆 　　 同理，O，T，Y，M四点共圆 　　 ∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX 　　 ∴∠MOX=∠MOY ， 　　∵OM⊥PQ 　　∴XM=YM 　　　 注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立 6． 坎迪定理：设是已知圆的弦，是上一点，弦 过点，连结，分别交于，则。 7． 斯特瓦尔特定理：设为的边上任一点，则有 。 注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立 8．张角定理： 设顺次分别是平面内一点所引三条射线上的点，线段 对点的张角分别为，且，则三点共线的充要条件是： 9．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点， 共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是的外接圆半径的。 证明：的九点圆与的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似中心。位似比均为。 10．欧拉线：的垂心，重心，外心三点共线。此线称为欧拉线，且有关系： 11．欧拉公式：设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为和，则这两圆的圆心距 。由此可知，。 证明：设外心为，内心为，连结，延长交外接圆于两点，令，交外接圆于，则 12．笛沙格定理;在和中，若相交于一点，则与，与，与的交点共线。 证明：和梅尼线，；和梅尼线，； 和梅尼线，，三式相乘，得。得证 13．牛顿（Newton）定理1： 圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。 证法1：设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H. 首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I. 显然 ∠AHI‘=∠BFI ’ ，因此易知 AI*HI/FI*CI=S(AIH)/S(CIF)=AH*HI/CF*FI 故 AI/CI=AH/CF. 　　同样可证:AI/CI=AE/CG 　　 又AE=AH,CF=CG. 　　故AI/CI=AH/CF=AI/CI. 　　 从而I,I重合.即直线AC,EG,FH交于一点. 　　 同理可证:直线BD,EG,FH交于一点. 因此 直线AC,BD,EG,FH交于一点。 证法2：外四边形为ABCD，对应内切四边形为EFGH。连接EG，FH交于P。 下面证明BD过P即可。 过D座EG的平行线交BA与S，过D做FH的平行线交BC于T。由于弦切角及同位角，角BEG=角CGE=角CDS=角BSD。所以SEGD四点共圆，且为等腰梯形。设此圆为圆M，圆M与圆O，内切圆交于EG，所以其根轴为EG，同理对圆N，DHFT，与圆O交于HF。HF为此两圆的根轴。由根轴定理，只需证明BD为圆M与圆N的根轴即可证明BD，EG，HF共于点P。 D在圆M和圆N上，所以其为根轴一点。由于SEGD，和DHFT为等腰梯形，所以ES=DG，DH=FT。由切线长定理，DH=DG，BE=BF；所以BE=BF，ES=FT，BS=BT。若B为圆M与圆N的根轴上一点，则BE*BS=BF*BT，其为割线长。明显等式成立。所以BD为圆M与圆N的根轴，则BD，EG，HF共于点P。同理AC，EG，HF