3几何选讲平面几何中几个重要定理的证明.doc

初等几何选讲复习资料三 几何选讲平面几何中几个重要定理及证明 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有 ． 证明：运用面积比可得． 根据等比定理有 ， 所以．同理可得，． 三式相乘得． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，若，那么直线CD、AE、BF三线共点． 证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有 ． 因为 ，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 梅涅劳斯定理 3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有 ． 证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G． 因为CG // AB，所以 ————（1） 因为CG // AB，所以 ————（2） 由（1）÷（2）可得，即得． 注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证． 4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明 定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边AC的延长线上有一点F，若， 那么，D、E、F三点共线． 证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有 ． 因为 ，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线． 注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律． 托勒密定理 5．托勒密定理及其证明 定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有 AB·CD + BC·AD = AC·BD． 证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得DAE =BAM． 因为ADB =ACB，即ADE =ACB，所以ADE∽ACB，即得 ，即 ————（1） 由于DAE =BAM，所以DAM =BAE，即DAC =BAE。而ABD =ACD，即ABE =ACD，所以ABE∽ACD．即得 ，即 ————（2） 由（1）+（2）得 ． 所以AB·CD + BC·AD = AC·BD． 注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试． 6．托勒密定理的逆定理及其证明 定理：如果凸四边形ABCD满足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A、B、C、D四点共圆． 证法1（同一法）： 在凸四边形ABCD内取一点E，使得，，则∽． 可得AB×CD = BE×AC ———（1） 且 ———（2）及（2）可得∽．于是有 AD×BC = DE×AC ———（3） 由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )． 据条件可得 BD = BE + DE，则点E在线段BD上．则由，得，这说明A、B、C、D四点共圆． 证法2（构造转移法） 延长DA到A/，延长DB到B/，使A、B、B/、A/四点共圆．延长DC到C/，使得B、C、C/、B/四点共圆．（如果能证明A/、B/、C/共线，则命题获证） 那么，据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆． 因此，，． 可得 . 另一方面，，即． 欲证=，即证 即 ． 据条件有 ，所以需证 ， 即证，这是显然的．所以，，即A/、B/、C/共线．所以与互补．由于，，所以与互补，即A、B、C、D四点共圆． 7．托勒密定理的推广及其证明 定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有 AB×CD + BC×AD AC×BD 证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E，使得，，则∽． 可得AB×CD = BE×AC ————（1） 且 ————（2）及（2）可得∽．于是 AD×BC = DE×AC ————（3） 由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE ) 因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知 AB×CD + BC×ADAC×BD 所以BE + DEBD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有BE + D