新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第36讲 等比数列及其前n项和（原卷版）.doc
第36讲等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
考点1等比数列基本量的运算
[名师点睛]
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).
[典例]
1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（?????）
A．20 B．12 C．8 D．4
2．（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知等比数列的前项和为，公比为，则（???????）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏省响水中学高三开学考试）记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为______
[举一反三]
1．（2022·河北唐山·三模）等比数列中，若，则（???????）
A．16 B． C．32 D．
2．（2022·重庆市云阳江口中学校高三期末）数列满足，，则的值为（???????）
A． B． C． D．
3．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
4．（2022·福建·莆田八中高三开学考试）已知等比数列的前n项和为，，，若，则___________.
5．（2022·浙江·模拟预测）已知等比数列的前n项积为，且，则公比q为________．
6．（2022·广东潮州·二模）记为等比数列的前n项和．若，，则______．
考点2等比数列的判定与证明
[名师点睛]
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
[典例]
1．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
2．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)证明：．
[举一反三]
1．（2022·安徽蚌埠·一模）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.
2．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
考点3等比数列的性质及应用
[名师点睛]
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
[典例]
1．（2022·重庆八中高三阶段练习）各项均为正数的等比数列{}满足，则=（???????）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（???????）
A．180 B．108
C．75 D．63
3．（2022·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（???????）
A．12 B．18 C．21 D．27
4．（2022·湖