新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第35讲 等差数列及其前n项和(解析版).doc
第35讲等差数列及其前n项和
1.等差数列的概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列,这时A叫做a与b的等差中项,根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:Sn=na1+eq\f(n(n-1)d,2)=eq\f(n(a1+an),2).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列.
考点1等差数列的基本运算
[名师点睛]
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
[典例]
1.(2022·河北·石家庄二中模拟预测)记为等差数列的前项和.若,,则(???????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用等差数列通项和求和公式可构造不等式组求得,由等差数列通项公式可求得结果.
【详解】设等差数列的公差为,
由得:,解得:,
.
故选:D.
2.(2022·山东威海·三模)等差数列的前n项和为,若,则公差(???????)
A.1 B. C.2 D.
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式列出关于和d的方程组求解即可.
【详解】由题可知.
故选:B.
3.(2022·山东泰安·模拟预测)若等差数列满足,则它的前13项和为(???????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的首项为,公差为,则
因为,所以,即.
所以.
故选:B.
4.(2022·浙江·杭师大附中模拟预测)等差数列的前n项和为,,则(???????)
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】B
【详解】因为,
又,
所以,
所以,
故选:B.
[举一反三]
1.(2022·海南海口·二模)设公差不为0的等差数列的前n项和为,已知,则(???????)
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】C
【详解】因为,又,所以,所以,即,设等差数列的公差为,
则,所以,又,所以,所以.
故选:C.
2.(2022·浙江·海宁中学模拟预测)设等差数列的前n项和为,若数列也是等差数列,则其首项与公差的比(???????)
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设等差数列,则
因为数列也是等差数列,所以,
则,所以
即有,解得
故选:D.
3.(2022·江苏淮安·模拟预测)已知等差数列}的前n项和为,若,则的取值范围是(???????)
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由题意可得,则,
因为,可得,则,
设等差数列的公差为,则,
由题意可得,可得.
即的取值范围是.
故选:C.
4.(2022·湖北武汉·模拟预测)设公差不为零的等差数列的前n项和为,,则(???????)
A. B.-1 C.1 D.
【答案】C
【详解】解:在等差数列中,,,故,
又,故,
则,故.
故选:C.
5.(多选)(2022·福建·模拟预测)已知等差数列的前项和为,公差为,则(???????)
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【详解】取,则,解得,即A正确;
由A可知,,则,即B正确;
于是有,
因为,且,即C正确;
因为,即D错误.
故选:ABC
6.(多选)(2022·河北衡水·二模)已知等差数列的前n项和为,公差为d,则(???????)
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【详解】解:由题意得:
对于选项A:取,则,解得,即A正确;
对于选项B:由A可知,,则,即B正确;
对于选项C:因为,即C错误;
对于选项D:因为,且,即D正确.
故选:ABD.
7.(2022·全国·高考真题(文))记为等