第六章 平面向量及其运用 单元测试（含解析）.docx
2025年
第六章平面向量及其运用
一、选择题
1．下列表达式化简结果与PA相等的是（）
A．AB+BP
C．BC+CA?
2．已知向量a=(0
A．2 B．1 C．0 D．?1
3．在△ABC中，BC=8,AC=10,cos
A．6 B．8 C．24 D．48
4．已知向量a=?1,2,1，b=3,x,1，且
A．10 B．23 C．11
5．在锐角△ABC中，cosA=35，则
A．12,2 B．25,52
6．在△ABC中，BC=3BD，CF=2FA，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若
A．37 B．47 C．6
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，(a+c)(sinA?sinC)+bsin
A．2 B．223 C．3
8．在平行四边形ABCD中，DA=DB，E是平行四边形ABCD内（包括边界）一点，DE?DADA=DE
A．1,2 B．1,32 C．12
二、多项选择题
9．已知平面向量a,
A．若a→//b→
B．a
C．a
D．若a+b
10．下列关于平面向量的说法中正确的是（）
A．已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且OC=xOA
B．已知AB=(23,2),AC=(?1,?3
C．已知点G为△ABC三条边的中线的交点，则GA
D．已知向量a=(1,2),b=(1,1)，且a与a+λ
11．在△ABC中，下列说法正确的是（）
A．若(ABAB+
B．若AB?AC=12
C．若点M是边BC上的点，且AM=23AB+1
D．若D分别是边BC中点，点P是线段AD上的动点，且满足BP=λBA+μBC
12．已知点P在△ABC所在的平面内，λ∈R，则下列命题正确的是（）
A．若PA?PB=PB
B．若PA+PB
C．若AP=λABABsinB
D．若AP=λABcosB
三、填空题
13．在直角三角形ABC中，∠C=900，AB=2,AC=1，若AD=3
14．已知O是锐角△ABC的外心，tanA=13，若3cos
15．在△ABC中，AB?CB?AC?
16．已知平面向量a，b的夹角为θ，b?a与a的夹角为3θ，a=1，a和b?a在b
四、解答题
17．已知在△OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC.设OA=a，
（1）用a、b表示向量OC、DC；
（2）若向量OC与OA+kDC共线，求
18．已知向量a与b的夹角θ=5π6，且|a
（1）求(a
（2）求|a
19．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量m=3sinC,1+cos
（1）求角A；
（2）如图，∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=1，求1BD
20．如图，在△ABC中，已知AB=2,BC=23,∠BAC=6
（1）用向量的方法证明：BP:
（2）求∠MPN的余弦值；
（3）连接PC，求PB?
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1tan
（1）求cosA
（2）记△ABC的面积为S，点P是△ABC内一点，且∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，证明：
①tanA=
②tanA=2
参考答案
1．B
解：对于A，因为AB+
对于B，因为PB+
对于C，因为BC+
对于D，因为PB+PC结果与
2．B
解：因为a→=(0,1)，
则a→
3．C
解：设AB=x，
由余弦定理BC2=AC2+AB2?2AC?AB?cos∠BAC，
因为BC=8，AC=10，cos
满足BC2+AB2
4．C
解：由向量a=?1,2,1，b=
得?1×3+2x+1×1=0，则x=1，
则b=
5．C
6．A
解：根据题意画出图形，如图所示：
由已知BD=
则AD=AB
因为A，P，D三点共线，
所以AP=λAD
因为CF=2
所以AF=
因为E是边AB的中点，
所以AE=12AB.因为E，
所以AP=kAE
则23λ=1
从而m=27，n=1
7．D
8．B
9．A,B
解：A.当b=0时，满足a→//b
B.设a?b=λ,b?c=μ
C.a+
D.由a+b=a?
∴4a?b
10．A,B,C
11．A,B,D
12．A,B,D
13．92
14．3
15．3
解：因为AB?CB?AC?
所以accos(π?B)+abcosC=1
由正弦定理得2sin
又因为sinA=
所以2sin
所以sinBcosC=3
因为B,C为三角形的内角，所以tanC0
由tanB?C
又因为1tan
当且仅当1tanC=3
所以tanB?C
16．(
17．（1）解：因为BA=AC，结合图形可知A为BC的中点，
所以，OC=
因为OD=2DB，则
所以，DC=
（2）解：因为OA+k
因为向量OC与OA+kDC共线，则存在λ∈R，使得
即2