离散数学与ch7 代数系统 .ppt

§7.1 代数系统的引入 代数系统是由一个集合（此集合称为代数的载体）和定义在集合上的运算构成。 §7.2 运算及其性质 一、二元运算 §7.2 运算及其性质 2、结合律 §7.2 运算及其性质 3、交换律 §7.2 运算及其性质 二、么元（单位元）和零元 * * 欢迎进入 离 散 数 学 第 七章 代 数系统 近世代数— 第七章 代数系统 §7.1 代数系统的引入 前言 §7.2 运算及其性质 结束 第七章 代数系统  人们研究和考察现实世界中的各种现象或过程往往要借助于所谓的数学模型。 例如:在微积分中,物体的速度可用导数,面积、体积可用定积分计算。 针对某个具体问题选用适宜的数学结构去进行较为确切的描述， 这就是所谓数学模型。 可见数学结构在数学模型中占有极为重要的地位， 我们现在下面讨论的数学结构是由集合上定义若干运算而组成的系统——称为代数系统。 在计算机科学中，研究机器可计算性语言、算法计算的复杂性、刻划抽象的数据结构等等，都需要这现代代数系统知识。 注：①载体一般是非空集合， ②定义在载体上的n元运算是一个从An到B的映射。 例：１）取整 [X]，求绝对值 |X|，是一元运算 ２）+,X是二元运算, 　　３）if xy　and　yz thenｕ　是三元运算 例：整数集，实数集，符号串集合等。 1、运算封闭性：若?x，y∈A，有x * y∈A， 称*在A上是封闭的 例： A={x｜x=2n，n∈N}， 问A，x运算封 闭否，A，+，A，/呢？ 解：?2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （ｒ＋ｓ∈Ｎ） ∴A，x运算封闭 2，4∈A，2+4?A，∴A，+运算不封闭 2，4∈A，2/4?A， ∴A，/运算不封闭 证：?a，b，c∈A， a*（b*c）=a*c=c ( a*b）*c=b*c=c ∴a*（b*c）=（a*b）*c 　　 ∴　*满足结合律 已知A，*，若?x，y，z∈A，有x*（y*z）=（x*y）*z，称*满足结合律。 例：A，*，若?a，b∈A，有a*b=b 证明：*满足结合律 已知A，*，若?x，y∈A，有x*y=y*x，称*满足交换律。 例：设有理数集，*,*定义如下： a*b=a+b-ab ，问*满足交换律否？ 证：∵?a，b∈A， a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a ∴*满足交换律。 设A，*，△，若?x，y，z∈A有: x*(y△z)=（x*y）△（x*z） ; (y△z)*x=(y*x)△(z*x) 称运算*在△上可分配 例：设A={?，?}，二元运 算*，△定义如左: ? ? ? ? ? ? ? ? * ? ? ? ? ? ? ? ? △ 问分配律成立否？ ?①? 证明：x△(y*z)=(x△y)*(x△z) 证：当x=?：x△(y*z)=? ; (x△y)*(x△z)=? 　当x=?：x△(y*z)=y*z ; (x△y)*(x△z)=y*z 注: 若找不到规律,对该例则应用8个式子进行验证。 ②、运算*对运算△不可分配 证：∵?*（?△?）=?*?=? （?*?）△（?*?）=?△?=? §7.2.1 运算及其性质 4.分配律 例:N为自然数集,?x,y∈N，x*y=max{x，y}, x△y=min{x，y} 证明：?x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x x≥y 　　 =x ∴*满足吸收律 x x y x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x x≥y 　　=x ∴△满足吸收律 x x y §7.2.1 运算及其性质 　　　　　　　　5.吸收律：设A，*