离散数学-代数系统.ppt

第四章代数系统

本章在集合、关系和函数等概念根底上，研究更为复杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。

前三章内容是本章的根底，熟练地掌握集合、关系、函数等概念和性质是理解本章内容的关键。

主要内容如下：

4.1运算4.3代数系统的同态和同构

4.2代数系统4.4代数系统的积代数;4.1运算?

一、运算

讨论从集合到的这一类函数。

在这里是笛卡尔积，即;设有集合和函数，于是对于中的每一个有序元组，,在中必有唯一个元素与之对应，即;例１设有函数，对于任意

;例3定义函数为。;二、一元运算和二元运算的表示方法

当A是有限集时，A上的一元运算和二元运算有时采用运算表的方式来定义。;三、运算的封闭性

定义在集合A上的运算在A上一定是封闭的.;令，显然，;定义４－２设是集合A上的一个二元〔或一元〕运算，，假设对于每一个序偶〔或对于每一〕都有那么称运算在S上是封闭的。;四、二元运算的一些常见的性质

定义４-３设Ａ是非空集合，和是A上的二元运算。

（１）若对于任意，有，则称

在A上是可交换的。

（２）若对于任意，有则称在A上是可结合的。

（３）若对于任意的有

则称运算对运算是可分配的。;例６实数集R上的二元运算定义为:;例８设是集合A上的关系}，对于任意，仍是A上的关系，所以关系的复合运算是S上的二元运算。

该运算不满足交换律，但满足结合律.;五、集合中与二元运算相关的一些特殊的元素

１．单位元

定义４－４设是集合A上的二元运算，假设存在一元素，使得对于任意的，有

那么称是A中运算的左单位元；;是运算的右单位元。;例10在例８中，对任意关系，有，所以恒等关系是集合上关系复合运算的单位元。;2．?零元

定义４－5设是集合A上的二元运算，若存在一元素，使得对于任意的,有，则称是A中运算的左零元；若存在一元素，使得对于任意的,,则称是A中运算的右零元，若存在一元素，使得对于任意的,,则称Z是A中运算的零元。;例12对于全集合U的幂集上“”运算和“”运算，对任意;３．幂等元

定义４-６设是集合A中的二元运算，假设且，那么称是A中关于运算的幂等元。;４．元素的逆元

定义４－７设是集合上具有单位元的二元运算，对于元素，假设存在，使得，那么称关于是左可逆的，称是的左逆元；;例15???在例６中曾定义实数集上的二元运算：，考虑它是否存在在单位元。;