离散数学与(下)课件6.1-代数系统 .ppt

离 散 数 学(Ⅱ) 吉林大学计算机科学与技术学院 智能信息处理教研室 卢欣华 luxh@jlu.edu.cn 古典代数与近世代数 古典代数的研究对象：方程 以方程根的计算与分布为其研究中心。 近世代数的研究对象：代数系统 古典代数的发展过程导致了群的概念的提出，发展成了近世代数。 古典代数的发展过程 一元一次方程 公元前1700年 一元二次方程 公元前几世纪 根式求解 古巴比伦、古印度 一元三次方程 我国：在公元七世纪 一般的近似解法 唐朝数学家王孝通《缉古算经》 西方：16世纪 意大利数学家 卡丹公式 古典代数的发展过程 一元四次方程 Ferrari L(费尔拉里) 化为求一个三次方程和两个二次方程的根 一元五次方程 失败：欧拉(1707 --1783) 、范德蒙德、 鲁菲尼、高斯等。 拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测: 这样的求根公式不存在。 1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日的看法. 但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五次方程有求根公式, 那么自然会问: 如何判定一个给定的五次方程是否有这样的求根公式? 阿贝尔去世(1829年, 26岁)前一直在竭尽全力地研究这个问题. 在这一时期, 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗华(Galois). 可是这位年轻人获得的非凡成果, 在他因决斗去世11年后才开始得到数学界的承认. 伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊. 14岁那年因考试不及格而重上三年级. 15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时, 伽罗华失败了, 不得不进入较普通的师范学校. 就是在这所学校, 伽罗华写出了他的第一篇关于连分数的数学论文, 显示了他的能力(17岁). 他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的拒绝. 更遭的是, 两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了. 1829年7月, 他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败. 怀着沮丧之情, 伽罗华于1830年初又向科学院提交了另一篇论文, 这次是为竞争一项数学大奖. 科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿 拿回家去审读, 不料在写出评审报告前去世了, 此文再也没有找到. 三失手稿, 加之考巴黎高等工科大学两度失败, 伽罗华遂对科学界产生排斥情绪, 变成了学生激进分子, 被学校开除. 担任私人辅导教师谋生, 但他的数学研 究工作依然相当活跃. 在这一时期写出了最著名的论文“关于方程可根式求解的条件”, 并于1831年1月送交科学院. 到3月, 科学院方面仍杳无音讯, 于是他写信给院长打听他的文章的下落, 结果又如石沉大海. 他放弃了一切希望, 参加了国民卫队. 在那里和他在数学界一样运气不佳. 他刚加入不久, 卫队即遭控告阴谋造反而被解散. 在1831年5月10日进行的一次抗议聚宴上, 伽罗华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯, 这一手势被同伙们解释成是要国王的命；第2天他就被捕了. 后来被判无罪, 并于6月15日获释. 7月4日, 他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运: 因“无法理解”而遭拒绝. 审稿人是著名的数学家泊松(Poisson). 7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁, 因为他在公共场所身着已被解散的国民卫队的制服. 在获释不久, 他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情. 这导致了他的早亡. 这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗. 1832年5月29日, 决斗的前夜, 伽罗华写了封很长的信给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier), 其中大致描述了他的数学理论, 从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受何等损失的提要. 在第二天的决斗中(离25步远用手枪射击), 伽罗华的胃部中弹, 24小时后去世. 享年不足21岁. 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群, 他成了群论以至近世代数的创始人. Galois(1811—1832)--近世代数的创始人 离散数学II 近世代数的特点 -- 抽象 代数系统： 群 环 域 格 布尔代数 第六章 群 与 环 §6.1 代 数 系 统 代数运算的定义 代数运算的性质 代数系统的定义 1. 代数运算的定义 设S是一个非空集合，称S×S到S的一个映射f为S的一个二元代数运算，即，对于S中任意两个元素a、b，通过f，唯一确定S中一个元素c：f(a,b)=c，常记为a*b=c。 注： 代数运算是闭运算。 该运算具有很强的抽象性，不限于+，-， *，/，意义很广泛。 类似地，可定义S的n元代数运算： Sn到S的映射。 例： 例： 加法和乘法是自然数集N上的二元代数运算；减法和除法不是