离散数学与PPT教学 代数系统 .ppt

前言 为什么要研究代数系统？ 代数是专门研究离散对象的数学，是对符号的操作。它是现代数学的三大支柱之一（另两个为分析与几何）。代数从19世纪以来有惊人的发展，带动了整个数学的现代化。随着信息时代的到来，计算机、信息都是数字（离散化）的，甚至电视机．摄像机、照相机都在数字化。知识经济有人也称为数字经济。这一切的背后的科学基础，就是数学，尤其是专门研究离散对象的代数。代数发端于“用符号代替数”，后来发展到以符号代替各种事物。在一个非空集合上，确定了某些运算以及这些运算满足的规律，于是该非空集合中的元素就说是有了一种代数结构。现实世界中可以有许多具体的不相同的代数系统。但事实上，不同的代数系统可以有一些共同的性质。正因为此，我们要研究抽象的代数系统，并假设它具有某一类具体代数系统共同拥有的性质。任何在这个抽象系统中成立的结论，均可适用于那一类代数系统中的任何一个。 抽象代数学在计算机中的应用 代数学历史悠久。代数的发展可分成两个阶段。19世纪这前的代数称为古典代数，19世纪至今的代数称为近世代数（抽象代数）。 抽象代数学的研究对象是抽象的，它不是以某一具体事物为研究对象，而是以一大类具有共同性质的事物为研究对象。因此其研究成果适用于这一类事物中的每一个，从而收到事半功倍之效。 抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统。它把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法描述、研究和推理，从而得到反映出它们共性的一些本质的结论，然后再把这些结论应用到具体的代数系统中。 抽象代数学在计算机中的应用 抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学工具。有经验和成熟的计算科学家都知道，除了数理逻辑处，对计算科学最有用的数学分支学就是代数，特别是抽象代数。抽象代数是关于运算的学问，是关于计算规则的学问。 在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造数学模型就要用到某种数学结构，而抽象世代数研究的中心问题就是一种很重要的数学结构--代数系统：半群、群、格与布尔代数等等。计算科学的研究也离不开抽象代数的应用：半群理论在自动机理论和形式语言中发挥了重要作用；有限域理论是编码理论的数学基础，在通讯中起过重要的作用；至于格和布尔代数则更不用说了，是电子线路设计、电子计算机硬件设计和通讯系统设的重要工具。另外描述机器可计算的函数、研究算术计算的复杂性、刻画抽象数据结构、描述作为程序设计基础的形式语义学，都需要抽象代数知识。 学习本章的方法 1、要按照数学的思维方式学习, 即观察客观世界, 抽象出模型, 再分析、推理揭示内在规律的过程。 2、领会“抽象”性：代数的抽象性不仅体现在元素的抽象上, 还体现在相应运算的抽象上, 是在最纯粹的形式下研究代数结构中的运算的规律与性质, 从运算的角度来考虑代数结构中的元素。因此, 初等代数的相应概念、结论不能直接应用在抽象代数中。如何跨越从直观到抽象是学习抽象代数的重要一步。 3、教材的基本思路是： 首先严格定义什么是代数结构, 并讨论一般代数结构的基本性质。然后讨论代数结构研究的两个方面：其一是通过一些基本性质来规定一类特定的代数结构, 并对这类代数结构的性质进行研究。其二是研究代数结构之间的各种关系, 通过对代数结构之间关系的研究, 就可以把一个代数结构中的某些性质推广到另一个代数结构中。 学习本章的方法 4、结合具体例子与应用来理解抽象代数的概念与结论, 特别是“抽象”的概念, 在理解的基础上熟悉基本概念与重要结论, 掌握基本推理方法, 领会抽象代数的研究方法,并尝试去解决具体问题。 5、抽象代数以代数结构为研究对象，集合论是研究代数结构的基础。而群是抽象代数所研究的最为重要、最为基础的代数结构, 也是抽象代数部分的学习重点, 学习好群的相关知识, 习惯了代数的“抽象”思维, 环、域的学习也就相对容易了。 6、阅读教材、课堂听讲、反复思考, 并独立完成一定数量的习题, 只有如此, 才能理解抽象代数的概念, 掌握有关理论, 从而提高分析问题的能力。 §7.1 代数系统的引入 代数系统是由一个集合（此集合称为代数的载体）和定义在集合上的运算构成。 §7.2 运算及其性质 一、二元运算 §7.2 运算及其性质 2、结合律 §7.2 运算及其性质 3、交换律 §7.2 运算及其性质 二、么元（单位元）和零元 * * 欢迎进入 离 散 数 学 第 七章 代 数系统 近世代数— 第七章 代数系统 §7.1 代数系统的引入 前言 §7.2 运算及其性质 结束 注：①载体一般是非空集合， ②定义在载体上的n元运算是一个从An