西安交通大学硕士研究生入学数学分析试题.doc

西安交通大学硕士研究生2001年入学考试《数学分析》试题 ()按题目要求给出表述: ⑴设在点集上有定义,是的一个聚点,给出的Cauchy准则表述. ⑵设,含参变量积分收敛, 给出在上一致收敛的Cauchy准则表述. ⑶设,,且收敛, 给出在上非一致收敛的Cauchy准则表述. ⑷设在区域内连续,给出在内非一致连续的“”表述. ⑸依据隐函数存在定理,给出的反函数存在定理的表述. 解: ⑴定理:设在点集上有定义,是的一个聚点,则存在的充要条件是,,使得,当, 时,有. ⑵定理:设,含参变量积分收敛, 则在上一致收敛的充要条件是,,使得当时,,有. ⑶定理:设,,且收敛, 则在上非一致收敛的的充要条件是,使得,,,有. ⑷定义:设在区域内连续,若,使得,,尽管满足,但.则称在内非一致连续. ⑸反函数存在定理:设在的某邻域内具有连续的导数,且.若,则存在的某邻域内的连续可微函数,满足,且当时,. ()讨论下列各题: ⑴设 试讨论其在全平面的连续性,求出不连续点集,并说明该点集是否为开或闭. 解:ⅰ因为,所以.从而在连续. ⅱ因为不存在,所以当,时, 不存在,因此在处不连续. ⅲ当时, ,因此在处连续. ⅳ综上所述的不连续点集为,该点集既不是开集也不是闭集. ⑵设,试讨论在上的一致收敛性及在上的一致收敛性(其中,). 解:ⅰ在上非一致收敛.事实上,使得(不妨设),,,尽管满足,,但 . ⅱ在上一致收敛. 事实上当,时,有,而收敛,所以在上一致收敛. ⑶ 设,讨论它在的连续性,偏导数的存在性及有界性,可微性. 解:ⅰ因为当时,有,所以在整个平面上有界. ⅱ因为当时,有,所以 . 因此在连续. ⅲ由于, , 即函数在原点的两个偏导数都存在; ⅳ 当时,有,从而有.因此,有.故在整个平面上有界.同理也在整个平面上有界. ⅴ若函数在原点可微,则 应是较高阶的无穷小量.为此考察极限,此极限不存在,事实上由于.因而函数在原点不可微. 证明下列各题: ⑴设在上有定义,且ⅰ单调有界,ⅱ函数值充满区间(或),则在上连续.又若条件ⅰ改为有界(去掉单调性), ⅱ改为函数值充满区间,能否有上述结论?若有,请证明;若无,请举例. 证明:①不妨设在上是单调增加的.则函数值充满区间. ,与存在,且有≤≤. 下证=.反设＜,则, 由于当＜＜时,有. 当＜＜时,有. 于是中的值不是函数在上某点的值,这与条件ⅱ矛盾.因此,有==,即在点处连续. 同理可证在点和处连续,故在上连续. ②若条件ⅰ改为有界(去掉单调性),ⅱ改为函数值充满区间,不能有上述结论成立.例如 令 则在上有界,且,但在和处间断. ⑵用Fermat定理证明:若在上可导,则可取到与之间的一切值().(Fermat定理:设在的某邻域内有定义,且ⅰ是的极值点,ⅱ存在.则) 证明:不妨设. ⅰ当时,则因为, 所以,使得当时, 有. 因此当时,有. 因为, 所以,使得当时, 有. 因此当时,有. 因为在上可导,所以在上连续,因此在上有最小值,由前知最小值不可能是或,从而最小值只能在内的某点处取到,这样就是的一个极小值点,又因在处可导,由Fermat定理得. 即若在上可导,且,则,使得. ⅱ当时,,令,则在上可导,且,从而,因此,使得,即.故可取到与之间的一切值. ⑶设在有界闭域上连续,用致密性定理证明:在上一致连续. 证明:假若在上非一致连续,则,使得,,尽管,但. 特别对,则,尽管,但,. 这样得点列. 因为有界闭域,所以存在收敛子列,设,则. 因为,所以. 因为在处连续,所以,. 从而,但这与()相矛盾. 故在上一致连续. ⑷设为正项级数,试证:若,则收敛;若,则发散;若或,则的敛散性不能断定. 证明:ⅰ因为,所以对,,使得当时,有 , 根据比值判别法知收敛. ⅱ因为,所以对,,使得当时,有 , 根据比值判别法知发散. ⅲ例如收敛,但,. 发散,但,. 因此若或,则的敛散性不能断定. ()解下列各题: ⑴设有点列:.求该点列的聚点集,并说明理由. 解:因为(其中表示中有理数的全体) 又因,,根据有理数的稠密性知,所以,即点列的聚点集是. ⑵求球面含在柱面内的面积. 解:上半球面的方程为,从而,. 所求面积为: . ⑶计算矢量沿曲线的环流量,这里为柱面与平面()的交线,且从轴的正向看去,按逆时针方向. 解: 的参数方程为: 所求环流量为 . 陇东学院数学系许万银 157