硕士研究生入学考试数学分析考试大纲-福建师范大学研究生院.DOC

 硕士研究生入学考试《数学分析大纲 一、试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为3小时。 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 三、试卷题型结构 1、填空题　 40 分　　 2、计算题 40 分 3、证明题 70分 II　考试范围 第一章? 实数集与函数 1.运用实数的有序性、稠密性及封闭性论证有关问题，邻域概念的理解及应用； 2.实数绝对值的有关性质及几个常见不等式的应用； 3.实数集确界的概念及确界原理在有关问题中的正确运用； 4.函数的概念及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数等概念理解和运用； 5.基本初等函数定义、性质及图象的识记，会求初等函数定义域，分析初等函数的复合关系。 第二章? 数列极限 1.会用ε—N定义证明数列极限有关问题，并会用ε—N语言正确表述数列不以某数为极限； 2.理解收敛数列的性质，极限的唯一性、保号性及不等式性质； 3.会用极限的四则运算法则，迫敛性定理以及单调有界定理求收敛数列的极限； 4.理解柯西准则在极限理论中的重要意义，能用该准则判定某些简单数列的敛散性。 第三章? 函数极限 1.能运用函数极限定义证明与函数极限有关的某些命题，会给出函数不以某定数为极限的相应表述； 2.掌握函数极限基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质及有理运算性质； 3.理解Heine定理及Cauchy准则，初步掌握运用它们证明函数极限存在的基本思路；??? 4.识记两个重要极限，能灵活运用其求一些相关函数极限； 5.理解无穷小(大)量及其阶的概念，会用无穷小量求某些函数的极限,无穷小(大)量阶的比较。 第四章? 函数的连续性 1.明确函数在一点连续定义的几种等价叙述； 2.会熟练准确地求出一般初等函数或分段函数的间断点并判别其类型； 3.理解连续函数的性质，并能在相关问题的讨论中正确运用这些重要性质； 4.深刻理解初等函数的连续性，应用连续性求极限； 5.掌握闭区间上连续函数的性质，理解其几何意义，并能在各种有关具体问题中加以运用； 6.理解一致连续的概念，能认识到函数在区间上连续与一致连续两者之间的联系与区别。 第五章? 导数与微分 1.利用定义法求函数在一点的导数；导数与导函数的联系与区别，可导的充要条件，可导与连续的关系，求曲线上一点处的切线方程，用导数概念解决相关变化率的实际应用问题； 2.熟记各类基本初等函数导数公式，综合运用求导的法则和方法熟练计算初等函数的导数； 3.理解函数微分的概念，用定义求简单函数的微分，运用基本公式和微分法则求初等函数的微分； 4.导数与微分的联系，增量与微分的关系，用微分作近似计算； 5.理解高阶导数与高阶微分概念，明确二者的联系，会求高阶导数与高阶微分，理解一阶微分形式的不变性并用其求复合函数的微分。 第六章? 微分中值定理及应用 1.利用中值定理证明有关函数微分学的命题； 2.用洛比塔法则求不定式的极限； 3.讨论函数及曲线性态，用导数作函数图象； 4.求解有关最大(小)值的应用问题； 5.用中值定理及单调性证明不等式，方程根的存在个数及分布讨论。 第七章? 实数的完备性 1.区间套、聚点、确界、覆盖、子列及一致连续等概念的理解；求点集的聚点、确界； 2.对实数基本定理的理解和准确表述，明确其等价性； 3.应用闭区间上连续函数的性质讨论函数的有界性、最值性、证明方程根的存在性；?? 4.函数一致连续性的判别及有关问题的证明。 第八章? 不定积分 1.原函数与不定积分的关系及其几何意义；积分与微分的关系； 2.熟记基本积分公式，用线性运算法则求不定积分； 3.用换元积分法和分部积分法或综合运用这几种方法求不定积分； 4.有理函数的积分法，用适当变换求三角函数有理式、简单无理函数的积分； 5.明确初等函数在定义区间存在原函数，但其原函数不一定是初等函数的结论。 第九章? 定积分 1.理解并掌握定积分的思想(分割、近似求和、取极限)的基础上会用定义求简单函数的定积分； 2.明确可积的必要条件、充要条件及可积函数类； 3.熟练地应用定积分的性质进行积分的计算，积分值的大小比较、求平均值及有关证明； 4.用微积分学基本定理及牛顿——莱布尼兹公式进行有关积分的证明和计算；变限积分的求导法则及应用； 5.用换元积分法和分布积分法计算定积分。 第十章? 定积分的应用 1.用定积分解决某些几何应用问题：平面图形面积、平面曲线的弧长、一些特殊立体的体积、旋转曲面的面积等的计算； 2.用微元法的思想及定积分计算一些物理上的应用问题：液体静压力、引力及功和平均功率。 第十一章? 反常积分 1.用比较法、Cauchy法判别无穷限积分的收敛性； 2.瑕积分中瑕点的确定