《圆的标准方程》教案、导学案、同步练习.docx

《2.4.1圆的标准方程》教案 【教材分析】 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆的标准方程。 在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用。在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。 同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。 【教学目标与核心素养】 课程目标 学科素养 A. 会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征. B.能根据所给条件求圆的标准方程. C.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题. 1.数学抽象：圆的标准方程 2.逻辑推理：圆的标准方程的推导 3.数学运算：根据条件求圆的标准方程 4.数学建模：圆的标准方程 【教学重点】：会用定义推导圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系 【教学难点】：根据所给条件求圆的标准方程 【教学过程】 教学过程 教学设计意图 一、情境导学 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月，呼作白玉盘。 又疑瑶台镜，飞在青云端。 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示? 二、探究新知 思考1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的因素：圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 思考2　已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？ |MA|＝r,由两点间的距离公式,得＝r, 化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 一、 圆的标准方程 点睛：(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2. (2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆. (3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的. 1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是(　　) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 解析:设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1, 又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1. 答案:A 二、点与圆的位置关系 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PC|=(x 位置关系 d与r的大小 图　示 点P的坐标的特点 点在圆外 dr (x0-a)2+(y0-b)2r2 点在圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆内 dr (x0-a)2+(y0-b)2r2 2.点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是(　　) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都不对 解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=84,故点P在圆外. 答案:B 三、典例解析 例1.求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程. 思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径. 解:(方法1)设点C为圆心, ∵点C在直线:x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a). 又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|. ∴(2 解得a=-2. ∴圆心坐标为C(-1,-2),半径r=10. 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. (方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b), 由条件知(2- 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. (方法3)线段AB的中点为(0,-4),kAB=-3 所以弦AB的垂直平分线的斜率k=-2, 所以线段AB的垂直平分线的方程为:y+4=-2x,即y=-2x-4. 故圆心是直线y=-