《圆的一般方程》教案、导学案、同步练习.docx

《2.4.2圆的一般方程》教案 【教材分析】 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆的一般方程。 本节内容是在学生学习了圆的标准方程基础上，进一步研究圆的一般方程，发现圆的方程特点，即为特殊的二元二次方程。明确圆的一般方程的特点，掌握圆的方程的算法及与圆有关的轨迹问题。在这一过程中，进一步体会数形结合的思想和方程思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。 同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础。也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。 【教学目标与核心素养】 课程目标 学科素养 A.理解圆的一般方程及其特点. B.掌握圆的一般方程和标准方程的互化. C.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题． 1.数学抽象：二元二次方程与圆的一般方程 2.逻辑推理：圆的一般方程与标准方程的互化 3.数学运算：求圆的一般方程 4.数学建模：圆的一般方程的特点 【教学重点】：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程 【教学难点】：与圆有关的简单的轨迹方程问题 【教学过程】 教学过程 教学设计意图 一、情境导学 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开 可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式. 请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆?下面我们来探讨这一方面的问题. 二、探究新知 例如,对于方程x2+y2-2x-4y+6=0,对其进行配方，得(x-1)2+(y-2)2=-1,因为任意一点的坐标 (x,y)?都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，所以形如x2+y2+Dx+Ey+F 三、圆的一般方程 （1）当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以(-D2,-E2)为圆心, 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得(x+ （2）当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示一个点(-D2,-E （3）当D2+E2-4F0时,方程不表示任何图形. 1.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项. 2.几个常见圆的一般方程 (1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0), (2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F0); (3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F0); (4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0); (5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0). 1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是　　　　　.? 答案:(3,0) 2. 若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆, 则F=　　　　　.? 答案:4 3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件? 答案:(1)A=C,且均不为0; (2)B=0;(3)D2+E2-4AF0. 四、典例解析 例1 判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径. 思路分析:可直接利用D2+E2-4F0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数. 解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0 可知D=-4m,E=2m,F=20m-20, ∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2. 因此,当m=2时,它表示一个点; 当m≠2时,原方程表示圆, 此时,圆的圆心为(2m,-m), 半径为r=12D2 (方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2, 因此,当m=2时,它表示一个点; 当m≠2时,原方程表示圆, 此时,圆的圆心为(2m,-m), 半径为r=5|m-2|. 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法: (1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形. (2)将该方程配方为(x+D2)2+(y+E2)2=D 跟踪训练1若方程x2