高等数学(第三版)1-1函数.ppt

五、复合函数 初等函数 基本初等函数 第一章 小结 自变量 因变量 对应法则f 函数的两要素: 定义域与对应法则. 思考：当x变化时，面积S与x之间是否为函数关系? (1) 符号函数 几个特殊的函数举例 1 -1 x y o (2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 例如 [1.5]=1 [-1.5]=-2 有理数点 无理数点 ? 1 x y o (3) 狄利克雷函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. o y M -M x y=f(x) X 有界 1．函数的有界性: 三、函数的特性 几何意义：由于| f (x)| ?M ?M? f (x) ?M.因此, f (x) 在(a, b)内有界. 就表示了的 f (x)图形夹在两平行直线 例 y=sinx, y=cosx在（-∞,+∞)上均为有界函数, y = ?M 之间. 说明:(1)有界函数的界不唯一 (2)有界性与区间有关 例如 在(0,1)上无界 在(1,2)上有界 y 0 1 1 x 等价定义:如果存在常数 和 ,使得对任一 ,都有 ,就称 在 上有界,并分 别称 和 为 在 上的一个下界和上界 等价定义:如果存在常数 和 ,使得对任一 ,都有 ,就称 在 上有界,并分 别称 和 为 在 上的一个下界和上界 函数的有界性定义: y M -M x y=f(x) X 邻域: 2．函数的单调性: x y o x y o 3．函数的奇偶性: 偶函数 y x o x -x 奇函数 y x o x -x 4．函数的周期性: （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 在(无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期。 四、反函数 注: 1. 如果 称为反函数,则y=f(x)称为直接函数.对应规则是一一对应的，定义域和值域互换 2. 习惯上,用x表示自变量,用y表示因变量,函数y=f(x) 的反函数一般写为 , x∈f(D). 直接函数与反函数的图形关于直线 对称. 3. 反函数图象特点 4. 单调函数必存在反函数 关于反三角函数 由于三角函数都是周期函数,对值域中的任意y值有无穷 多个x值与之对应,因此,在 整个定义域上不存在反函数,但如 果把三角函数的定义域限制在它的一个单调区间上,这样得 到的函数在该区间上是单调的，就存在反函数。 1.复合函数 代入法 注1 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; 注2 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 例：指出下列复合函数是由哪些简单函数复合 而成？ 分解的原则：分解为基本初等函数或多项式函数 以及它们的和、差、积、商。 练习：指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成？ 1.幂函数 2、初等函数 Page ? * 绪 论 一、关于微积分 1.微积分的诞生及发展 微积分诞生在300多年前。16世纪的欧洲处于 资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，工 业、交通和战争的需要向自然科学提出了新的研究 课题，迫切需要力学、天文学等基础学科给予解答。 归纳起来，主要是两个基本问题：物理上，一个是 微积分的出现，是由初等数学向高等数学转变的一个具有划时代意义的大事。 已知路程求速度；另一个是已知速度求路程。在 等速运动的情况下，这两个问题可以用初等数学 来解决，但在变速运动的情况下，只用初等数学 就无法解决了。几何上的两个问题是求任意曲线 的切线以及求任意曲线所围成的面积。 许多数学家为解决这两类问题都做出了重要 的贡献。这其中以牛顿和莱布尼兹为杰出代表， 他们在前人工作的基础上，分别从力学和几何学 独立地创造了微积分学。 微积分刚一形成，就在解决实际问题中显示