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有限元法的理论基础 1 求解弹性力学问题方法概述 一、几种常用的能量原理和适用条件 与能量原理有关的基本知识 三 最小势能原理 2 基于最小势能原理的变分法 1）、里兹法 2） 伽辽金法 3）有限元法 将（3－72）式和（2－9）式作比较发现，若不考虑轴向位移，（3－72）式恰是粱单元的刚度矩阵Ke，而（3－75）式中大括号??内的第一项，恰是粱单元由节点位移vi，?i，vi，?j引起的节点力Vi，Mi，Vj，Mj。 3）有限元法 3）有限元法 将（3－74）式和（2－29）式作比较发现，（3－74）式恰是承受均布载荷q的两端固定粱的固端反力，由上向下依次为V0i，M0i，V0j，M0j。 由上面的分析，（3－75）式可写成下面的矩阵形式。 由（3－75）式可见，在??eT与?e中节点位移的排列顺序是一样的。若将（3－77）式各项按整个粱的节点顺序排列，并注意到??＝（?v1 ??1 ????????vn+1 ??n＋1）的任意性，则由（3－77）式可得。 （5）由??＝0求解节点位移 式中KZ是由每个单元刚度矩阵Ke集合而成（整体刚度矩阵），FZ0是由每个单元的固端反力集合而成，若将该矩阵前加“—”号，它就是等效节点载荷。 3）有限元法 将每个单元的??e（如3－76式）代入（3－59）式，得： 将其移到等号右边，则（3－78）式变为： 3）有限元法 仍采用之前的符号表示节点载荷，则P=FZ0，代入上式有： 因为该简支梁局部坐标与整体坐标是一致的，因此，（3－79）式与（2－39,李景涌编著）式是一样的，它就是求解各节点位移的线性代数方程组。 利用变分法直接求出了有限元法求解节点位移的线性方程组（3－79），它与直接法推出的完全相同，说明变分法是有限元法的理论基础。 从有限元的角度讲，利用变分法导出了求单元刚度矩阵和等效节点载荷的公式（3－71）式和（3－73），以后可以直接应用这些公式去计算单元刚度矩阵和等效节点载荷。 3）有限元法 图3-19 利用变分法近似计算路线图 Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. Briefly discuss background information. * * 北京邮电大学自动化学院 * * 北京邮电大学自动化学院 1 求解弹性力学问题方法概述 4 弹性力学问题近似求解的加权残数法 2 基于最小势能原理的变分法 3 基于虚位移原理的变分法 上图给出了求解弹性力学问题的5条途径： 图3-4 求解弹性力学问题的原理与方