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July 30, 1999 有限元法及ansys基础理论矩阵分析法及有限元分析的一般步骤 矩阵分析法适用于由连杆或梁等单元组成的杆件结构，是一种具有朴素的有限元思想的非连续介质的力学分析方法，下面以此为例说明有限元分析的一般步骤。 矩阵分析法 杆系结构的矩阵分析方法从广义上说，也可以包括在有限单元法中，并且可以比较形象地说明有限单元法的概念，在实际工程中也有很大的应用价值。 有限元法及ansys基础理论... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤 水平杆单元刚度矩阵 如图1-1所示桁架，杆的两端都可以产生位移。为了循序渐进，先研究水平直杆ij，如图1-2所示。 有限元法及ansys基础理论... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤 杆单元两端各有一个水平节点位移ui和uj，即具有两个自由度。两端结节点力分别为Ui和Uj。 杆的受力情况可分解为两种状态。 状态一：ui=ui，uj=0。这时，节点j被固定。 单元应变： 单元应力： 材料力学中以拉应力为正，而有限单元法中，以向右的节点力为正，所以下式中加一负号。 单元左端节点力： 单元右端节点力： 有限元法及ansys基础理论... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤 状态二：ui=0， ui=ui 。这种状态与状态一正好相反。 单元应变： 单元应力： 单元左端节点力： 单元右端节点力： 有限元法及ansys基础理论... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤 把以上两种状态的结果叠加起来，得到左、右两端都可变位情况下单元节点力为 写成矩阵形式得到 其中 有限元法及ansys基础理论... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤 上式称为单元刚度矩阵。刚度矩阵在有限单元法中是一个比较重要的概念，能体现出任何一个自由度方向的节点力与所有节点位移之间的关系。 单元轴力可写为 其中 在杆件结构中，通常以轴力作为广义应力，因此矩阵S称为单元应力矩阵。 有限元法及ansys基础理论... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤 实际，在节点i和j，除了水平位移外，还可产生垂直位移（但在小变形条件下，垂直节点位移对铰接杆的内力无影响）。引入垂直节点位移vi、vj和垂直节点力Vi、Vj，把单元刚度矩阵扩展为四阶形式，单元节点力为 或 其中， 为节点力； 为节点位移 有限元法及ansys基础理论... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤 单元刚度矩阵 单元轴力 有限元法及ansys基础理论... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤 倾斜杆单元刚度矩阵 加入由斜杆单元长度与坐标之间的关系推导应力矩阵及刚度矩阵的过程，以便和 后面部分印证。 有限元法及ansys基础理论... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤 如图1-3所示，局部坐标、与整体坐标x、y之间的位移与之间存在如下变换关系 式中，转换矩阵 为正交矩阵，其中α=cosθ，β=sinθ。 则局部坐标系中节点力 与整体坐标系中的节点力 之间关系为 有限元法及ansys基础理论... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤 局部坐标系中的节点力 局部坐标系中的刚度矩阵为 见式（1-2-7）。 将式（1-2-9）和（1-2-10）代入（1-2-11）得 或记为 上式反映了单元节点位移与单元节点力的关系，称为单元刚度方程。其中， ，为整体坐标系中的单元刚度矩阵，即 有限元法及ansys基础理论... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤 并将式（1-2-12）记为 其中，i 点节点力Fi=[Ui Vi ]T， j 点节点力Fj=[Uj Vj ]T， i 点节点