二项式定理项的系数.docx

二项式定理项的系数 二项式定理是数学上有名的一条定理，是指任何整数n(n≥0)的二项式定理都可以用如下的公式表示：(1+x)^n=Σr=0,nCrxr，其中Cn,r是n阶组合数，也就是给定一个集合，可以从中选取r个元素，组合成一个新的子集，其中Cn,r定义为：Cn,r=n!/(r!*(n-r)!)，其中n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*···*1；下面将从实际数值上具体解释二项式定理系数Cn,r的含义。 首先，当r=0时，Cn,r=n!/(0!*(n-0)!)，由于0!=1，则Cn,r=n!/1=n!此时，二项式定理式子可以简化为：(1+x)^n=Σr=0,nCrxr=(1+x)^n=Cn,0x0+Cn,1x1+···+Cn,nxn，而Cn,0x0=1x0=0，所以可以得到：(1+x)^n=Cn,1x1+···+Cn,nxn 从上面的例子中可以看出，当r=0，r=1，r=n时，二项式定理的系数Cn,r分别为n!，n，n，而当2≤r≤n-1时，二项式定理的系数Cn,r的值不一定是常数，而是一个与r有关的多项式。因此，由此可以总结出二项式定理的系数Cn,r的总结：当r=0，Cn,r=n!；当r=1，Cn,r=n；当2≤r≤n-1时，Cn,r是一个具有r项的多项式；当r=n时，Cn,r=n。