(八)曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率.pdf

微分几何教案（十六） 3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 一 主曲率 定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。 因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即 曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。 二 欧拉公式 结论：取曲面上的曲率线网为曲纹坐标网，设沿u-线的主曲率为 1 ，沿 v-线的主曲率为2 , 曲面上任意方向(d)=du:dv 与曲线的夹角 2 2 为,则沿（d ）的法曲率n 满足  cos  sin  . 这个公式叫 n 1 2 做欧拉公式。 证明 因为曲纹坐标网是曲率线网，所以 F= M =0,所以对曲面上  Ldu 2 Ndv 2 任意方向(d)=du:dv,与其对应的法曲率 . 沿 u-线 n  Edu 2 Gdv 2 L （ v 0 ）的法曲率为主曲率1 , 沿 v-线（u 0 ）的法曲率为主曲 E N 率2 . G Eduu 因为(d)=du:dv与u-线的夹角是,所以cos , Edu 2 Gdv2 Eu 2 2 Edu 2 2 Gdv2 所以cos  2 2 , sin  2 2 ,所以 Edu Gdv Edu Gdv Ldu 2 Ndv 2 L Edu 2 N Gdv 2 2 2   cos   sin    n Edu 2 Gdv2 E Edu 2 Gdv2 G Edu 2 Gdv2 1 2 三 主曲率的性质 命题 6 曲面上（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法 曲率中的最大值和最小值。 36 微分几何教案（十六） 3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 证明 设  (如果  ,可以交换坐标u和v）由欧拉公式知： 1 2 1 2 2 2 2 2   cos  sin   (  )cos  ,于是  (  )cos  0 , n 1