十曲面上法曲率的最值高斯曲率平均曲率极小曲面.doc

第二章 曲面论 第十三节 曲面上法曲率的 最大值、最小值、 高斯曲率、平均曲率、极小曲面 根据法曲率的几何意义, 法曲率完全反映了曲面在一点处沿指定方向的弯曲程度和弯曲方向, 因此, 理论上曲面在一点处沿任意方向的弯曲性是完全可以量化. 但实际上是做不到的, 因为曲面在一点处有无穷多个切方向. 于是我们自然提出这样两个问题: 法曲率随方向变化的变化规律是什么? 法曲率是否有最大值和最小值? 下面针对这两个问题展开讨论.得到的结论是: 由Euler 公式给处了曲面上一点沿各个方向, 法曲率的变化规律, 而且法曲率有最大值和最小值, 它们被称为主曲率, 最后由主曲率进一步引出Gauss曲率和平均曲率的概念. 法曲率的最大值、最小值 曲面上一点 沿一方向上的法曲率为 ，（1） 我们考虑法曲率的最大值、最小值问题。 设，则有 ， 这样一来，所求问题转化为求二次分式的极值问题。 ， ， 此二次方程有根，当且仅当 ， 。 设是方程 ，（2） 的两个根， 则有， 于是的最大值、最小值分别为 ，且由方程（2）所解出。 由 韦达定理，便得 ， 。 将代入 ， 解出两个根，就得到使达到最大值、最小值的方向。 对曲面上一给定点, 法曲率 是切方向的函数, 称法曲率的每个临界值(critical value)为曲面在这一点的主曲率; 对应的方向称为曲面在这一点的主方向. 二、高斯(Gauss)曲率、平均曲率 设分别为曲面上一点处的法曲率的最大值、最小值，则将它们的乘积称为曲面在这一点的高斯(Gauss)曲率，通常以表示，，它描述了曲面在一点处总的弯曲程度, 又称为总曲率或全曲率； 它们的平均数称为曲面在这一点的平均曲率，通常以表示，，它描述了曲面在一点处的平均弯曲程度, 又称为中曲率。 由方程（2）及韦达定理，便得 ， 。 。 计算高斯(Gauss)曲率、 平均曲率的例题 设是半径为的球面， 由于， 所以球面的高斯曲率， 平均曲率 。 求正螺面 的主曲率, 总曲率和全曲率. 【解】直接计算得到螺面的第一和第二基本形式如下， ， 由此便知正螺面上所有点都非脐点, 于是其上每点处都有两 个不相等的主曲率. 将基本量代入法曲率的计算公式, 得到 ， 由于 ， 所以，有， 于是 正螺面的主曲率k1; k2, 总曲率K和平均曲率H 分别为 ， ， 。 设是一条空间正则曲线, 是自然参数，其切线构成的曲面为， 其中是的单位切向量. 求的Gauss曲率. 【解】记曲线C 的曲率和挠率分别为， 基本向量为 。 则， 于是 进一步计算得到 ， ， ； 所以 ， ， 因此曲面S 的Gauss曲率为 。 例1、 求曲面 ： 的高斯曲率、平均曲率。 解 我们已经得出 第一类基本量为 ， ， ； 第一基本形式为 ； 第二类基本量为 ， ， 第二基本形式为 。 代入计算，可得 ， 。 容易验证 。 求上半椭球面上的高斯曲率； 求下半椭球面上的高斯曲率。 例2、求旋转曲面 ：。 （这里， ） 的高斯曲率、平均曲率。 解 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 。 ， 则有 。 ， 。 将基本量代入， ， 可算出 ， 。 （2）若 的全曲率处处为零, 试判断曲面 的形状? (3) 证明: 若 的经线有垂直于旋转轴的切线, 则切点是曲面 上的抛物点. (2) 由(1)知, 全曲率处处为零的充要条件是 ， (i) 若 ，则f (常数), 因而曲面是垂直于z -轴的平面. (ii) 若 ， 即，那么 ， 当常数时, 曲面为圆锥面; 当常数 时, 曲面为圆柱面. (3) 若经线的切线垂直于旋转轴(即z -轴), 则 从而K = 0, 所以切点为抛物点. 特别地，将平面上曲线，绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 , 将基本量代入， ， 可算出。 ， 。 将平面上曲线（，）绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为， 。 极小曲面 定义 一个曲面如果它在每一点处的平均曲率，则称之为极小曲面。 可以证明，给定一条闭曲线，可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中，有一个面积最小者，这个具有最小面积的曲面正是极小曲面，即平均曲率为零的曲面。 平面是仅有的极小可展曲面。除平面外，旋转极小曲面都是悬链面，直纹极小曲面都是正螺面。 旋转的极小曲面 现在我们要寻找出旋转的极小曲面，即求出的旋转曲面。 将平面上曲线， 绕轴