高斯曲率内蕴公式的几种形式的推导方法-四川理工学院学报.PDF

第２７卷第４期 四川理工学院学报（自然科学版） Ｖｏｌ２７　Ｎｏ４ ２０１４年８月 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｉｃｈｕａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ） Ａｕｇ２０１４ 文章编号：１６７３１５４９（２０１４）０４００８２０８ ＤＯＩ：１０．１１８６３／ｊ．ｓｕｓｅ．２０１４．０４．２０ 高斯曲率内蕴公式的几种形式的推导方法 １，２ ３ ３ 邢家省 ，高建全 ，罗秀华 （１．北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京 １００１９１；２．数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 １００１９１； ３．平顶山教育学院数学系，河南 平顶山 ４６７０００） 　　摘　要：考虑曲面上高斯曲率内蕴公式的表示问题，运用曲面基本方程的矩阵表示法，给出了高斯 曲率是内蕴量的直接的显式公式，并指出这种内蕴公式与 Ｂｒｉｏｓｃｈｉ的表示公式是明显一致的；给出了高 斯曲率简化公式的推导来源，揭示出了高斯曲率隐式公式的发现过程。 关键词：曲面的基本方程；曲面结构方程；高斯曲率；内蕴公式；Ｂｒｉｏｓｃｈｉ公式 中图分类号：Ｏ１８６１ 文献标志码：Ａ 　　曲面上的高斯曲率的定义和计算公式是经典曲面 １ 曲面论的基本方程的矩阵方程表示形式 ［１９］ 论的重要内容 。曲面上的高斯曲率是曲面的内蕴 ［１６］ 曲面论的基本问题是研究由曲面的第一基本形式 量 ，这个重要结果是高斯于 １８２７年发现的著名定 ［２６］ 和第二基本形式如何确定曲面存在的问题，解决的方法 理，称为高斯绝妙定理 ，该定理的原始表述形式是用 曲面上的第一类基本量的隐式表达。曲面论基本方程 是从曲面的基本方程出发，寻找到了存在可解曲面的充 ［１６］ ３ 的理论到Ｒｉｅｍａｎｎ和Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ时代，才被建立了完善体 要条件 。给出Ｃ类的正则曲面 ：ｒ＝ｒ（ｕ，ｕ），（ｕ，ｕ） 系。意大利数学家Ｂｒｉｏｓｃｈｉ给出了高斯曲率是内蕴量的 Σ珒 珒 １ ２ １ ２ ∈Δ 显式表达公式［１２，４，６］，并给出了正交坐标曲线网下高斯 按照文献［１－６，９－１０］中的符号体系，给出记号， ［１］ ｒ 曲率的简化计算公式 ，导致了新型曲面的发现。Ｂｒｉ ｒ＝ｒ ＝珒 珒 珒 ｉ ｕ ｉ ｕ ｉ ｏｓｃｈｉ公式的发现与高斯导出的发现方法完全不同，两者 ｇ ＝ｒ·ｒ，ｇ ＝ｇ ，ｉ，ｊ＝１，２