7阶常系数线性差分方程.doc

微积分教学设计 教学札记 教学对象：财经类，管理类等专业 教学内容：一阶常系数齐次线性差分方程、一阶常系数齐次（非齐次）线性差分方程的通解 教学目的：理解一阶常系数齐次（非齐次）线性差分方程的通解求法 教学方法：利用多媒体进行启发式教学 教学重点：一阶常系数线性差分方程的通解 教学难点：待定系数法求非齐次线性方程的特解 教学过程 1．一阶常系数线性差分方程 在n阶常系数线性方程中，当时，便得到一阶常系数线性差分方程的，即 （1） 其中为的已知函数，为已知的非零常数。而（8.3.1）相应的齐次方程为 （2） 2．迭代法求一阶常系数齐次线性差分方程的通解 将方程（2），将其改写为，，假设在初始时刻（即），函数的取值为常数（任意），当分别为时，逐次迭代算得 ， ， 于是，归纳可得方程（2）的通解为 ， （3） 其中为任意常数。 例1 求差分方程的通解。 3．一阶常系数非齐次线性差分方程的通解 求非齐次线性差分方程（1）的通解的程序为： 第1步：求相应齐次线性方程（2）的通解； 第2步：求非齐次线性方程（1）的一个特解； 第3步：写出非齐次线性方程（1）的通解。 注：求方程（8.3.1）的特解的常用方法为“迭代法”与“待定系数法”。 ( 迭代法 将方程（1）改写为 ， 教学心得 则有：（）   由数学归纳法可证 为方程的一个特解，因此方程（1）的通解为 ，其中为任意常数。 例2 求差分方程的通解。 ( 待定系数法 情形一：为常数 设，其中为非零常数。方程（8.3.1）相应地变为 方程的通解为 例3 某客户在银行开了元的账户，年利率为，并计划以后每年年终再连续加存元。试问年末该客户账户有多少存款？ 例4 求差分方程的通解。 情形二：为的多项式函数 以一次多项式为例：设，其中、为常数，且。这时，方程（1）相应地变为  则方程的通解为 注：可以类似地讨论为的次多项式的一般情形。 例5 求差分方程的通解。 情形三：为指数函数 设，其中、为非零的常数，且。这时，方程相应地变为， 则方程的通解为 教学札记 教学心得  例6 求差分方程的通解。 例7 求差分方程的通解。 情形四：为正弦—余弦型三角函数 设，其中、、为常数，且，与不同时为零。这时，方程（1）相应地变为 则方程的通解为 其中  ， 。 注：如果函数为或，作为特解的试解函数仍应为 或 例8 已知级数的通项为 （） 求其部分和序列的通项。 4．作业 教学札记 教学心得 2 一阶常系数线性差分方程 第 二六 讲