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第十章 微分方程 第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程 一、 型 三、小结 * * 如果二阶线性微分方程为 y? + py? + qy = f(x) ， 其中 p、 q 均为常数， 则称该方程为二阶常系数线性微分方程. f (x) 称为自由项，当 f (x) 不恒等于0 时，称为二阶常系数线性非齐次微分方程， 　　　　　　　　　　　 当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程. 　　定理 　如果函数 y* 是常系数线性非齐次方程 y? + p y? + q y = f (x)的一个特解， y = Y + y*， 是常系数线性非齐次方程的通解. Y 是该方程所对应的常系数线性齐次方程的通解， 则 前面我们介绍了下面的定理面： 因此求二阶常系数线性非齐次方程通解的一般步骤为： 　(1) 求常系数线性齐次方程 y? + p y? + q y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 　(2) 求常系数线性非齐次方程 y? + p y? + q y = f (x) 的一个特解 y*. 那么，方程的通解为 y = Y + y*. Y=C1 y1 + C2 y2. 下面只介绍当非齐次项f(x)取以下两种特殊的函数形式时，如何求特解： 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 其中 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 设非齐方程特解为 代入原方程 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）. 特别地 例 1　求方程 y? + y? + y = 2e2x 的一个特解. 　　解　a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0， 则 代入方程，得 故原方程的特解为 所以，设特解为 . B 7 2 = 提示? 因为f(x)?Pm(x)e?x?3x?1? ??0不是特征方程的根? 所以非齐次方程的特解应设为 y*?b0x?b1? 把它代入所给方程? 得 例2 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一个特解? 解 齐次方程y???2y??3y?0的特征方程为r2?2r?3?0? [b0x?b1]???2[b0x?b1]??3[b0x?b1] ??3b0x?2b0?3b1? ??2b0?3b0x?3b1 ?3b0x?2b0?3b1?3x?1? 提示? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? 特解形式 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例3 利用欧拉公式 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取虚部） 例4 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入辅助方程 例5 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取实部） 注意 (待定系数法) 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.