3常系数线性差分方程`.ppt

* * §1.3 常系数线性差分方程 1、形式： 常系数：是指方程中a1、a2、… an和b1、b2、… bm为常数。 阶数： y(n)项中变量序号的最高值与最低值之差。 线性： y(n-k)与x(n-m)项都只有一次幂，且不存在相乘项。 该“线性”与线性系统的“线性”含义不同 2、常系数差分方程的求解： ① 经典解法：类似于模拟系统求解微分方程的方法，要求 齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。 由于计算复杂，较少使用。 ② 递推(迭代)法：简单、适于用计算机进行求解。但只能 得到一系列数值解，不易得到封闭式(公 式)解答。 ③ 变换域法：将差分方程变换到z域求解。 ④ 卷积法：由差分方程求出系统的h(n)，再与已知的x(n) 进行卷积，得到y(n)。 例：用迭代法求解差分方程—求单位抽样响应h(n) 设系统差分方程为：y(n)-ay(n-1)=x(n)，求h(n)。 h(0) = ah(-1)+?(0) = 0+1 = 1 h(1) = ah(0)+?(1) = a+0 = a h(2) = ah(1)+?(2) = a2+0 = a2 解：设x(n)=?(n)，对因果系统，有：y(n)=h(n)=0，当n0。 h(n) = ah(n-1)+0 = an+0 = an . . . 迭代 故系统的单位抽样响应为：h(n)=anu(n)。这个系统显然是因果系统，当|a|1时，它还是稳定系统。 注意：一个常系数线性差分方程，并不一定代表因果系统。 如果边界条件假设不同，可以得到非因果系统。 例：设系统差分方程仍为：y(n)-ay(n-1)=x(n)，求h(n)。 解：设x(n)=?(n)，有：y(n)=h(n)=0，当n0。 可写出另一种递推关系：y(n-1)=a-1[y(n)-x(n)] h(0) = a-1[h(1)-?(1)] = 0 h(-1) = a-1[h(0)-?(0)] = -a-1 h(-2) = a-1[h(-1)+?(-1)] = -a-2 h(n) = a-nu(-n-1) . . . 迭代 该系统的单位抽样响应为：h(n)=-a-nu(-n-1)。这个系统显然不是因果系统，但它的差分方程与前一题相同。 另外：一个常系数线性差分方程，只有当边界条件选择合适 时，才相当于一个线性移不变系统。 例：设系统差分方程仍为：y(n)-ay(n-1)=x(n) A、当边界条件为y(0)=1时，为非线性、移变系统 B、当边界条件为y(0)=0时，为线性、移变系统 C、当边界条件为y(-1)=0时，为线性、移不变系统 证：(这里只证明A，B和C留给大家课后思考证明。) 令：x2(n)=?(n-1)， y2(0)=1 y2(1) = ay2(0)+x2(1) = a+1 y2(2) = ay2(1)+x2(2) = a2+a … y2(n) = ay2(n-1)+x2(n) = an+an-1 ∴ y2(n) = anu(n)+ an-1u(n-1) x1(n)和x2(n)为移位关系，但y1(n)和y2(n)不是移位关系，故不是移不变系统。 令：x1(n)=?(n)， y1(0)=1 y1(1) = ay1(0)+x1(1) = a y1(2) = ay1(1)+x1(2) = a2 … y1(n) = ay1(n-1)+x1(n) = an ∴ y1(n) = anu(n) 前面已经证明： 当 x1(n)=?(n) 时，y1(n) = anu(n) 当 x2(n)=?(n-1) 时， y2(n) = anu(n)+ an-1u(n-1) 令：x3(n)=?(n)+?(n-1)， y3(0)=1 y3(1) = ay3(0)+x3(1) = a+1 y3(2) = ay3(1)+x3(2) = a2+a … y3(n) = ay3(n-1)+x3(n) = an+an-1 ∴ y3(n) = anu(n)+ an-1u(n-1) ∵ 当x3(n)=x1(n)+x2(n)时，y3(n)≠y1(n)+y2(n)， 所以，该系统也不是线性系统。 差分方程表示法的一个优点是： 可以直接得到系统的结构，这里的结构是指将输入变换成输出的运算结构。 例：差分方程： y(n)=b0x(n)-a1y(n-1) 该差分方程所表示的结构为： z-1 x(n) b0 -a1